Приступим к рассмотрению темы «Признак делимости на 3 ». Начнем с формулировки признака, приведем доказательство теоремы. Затем рассмотрим основные подходы к установлению делимости на 3 чисел, значение которых задано некоторым выражением. В разделе приведен разбор решения основных типов задач, основанных на применении признака делимости на 3 .
Признак делимости на 3 , примеры
Формулируется признак делимости на 3 просто: целое число будет делиться на 3 без остатка, если сумма входящих в его состав цифр делится на 3 . Если суммарное значение всех цифр, которые входят в состав целого числа, на 3 не делится, то и само исходное число на 3 не делится. Получить сумму всех входящих в целое число цифр можно с помощью сложения натуральных чисел.
Теперь рассмотрим примеры применения признака делимости на 3 .
Пример 1
Делится ли на 3 число - 42 ?
Решение
Для того, чтобы ответить на этот вопрос, сложим все цифры, входящие в состав числа - 42: 4 + 2 = 6 .
Ответ: согласно признаку делимости, раз сумма цифр, входящих с восстав исходного числа, делится на три, то и само исходное число делится на 3 .
Для того, чтобы ответить на вопрос о том, делится ли на 3 число 0 , нам понадобится свойство делимости, согласно которому нуль делится на любое целое число. Получается, что нуль делится на три.
Существуют задачи, для решения которых прибегать в признаку делимости на 3 необходимо несколько раз.
Пример 2
Покажите, что число 907 444 812 делится на 3 .
Решение
Найдем сумму всех цифр, которые образуют запись исходного числа: 9 + 0 + 7 + 4 + 4 + 4 + 8 + 1 + 2 = 39 . Теперь нам нужно определить, делится ли на 3 число 39 . Еще раз складываем цифры, входящие в состав этого числа: 3 + 9 = 12 . Нам осталось провести сложение цифр еще раз для того, чтобы получить окончательный ответ: 1 + 2 = 3 . Число 3 делится на 3
Ответ: исходное число 907 444 812 также делится на 3 .
Пример 3
Делится ли на 3 число − 543 205 ?
Решение
Посчитаем сумму цифр, входящих в состав исходного числа: 5 + 4 + 3 + 2 + 0 + 5 = 19 .
Теперь посчитаем сумму цифр полученного числа: 1 + 9 = 10 .
Для того, чтобы получить окончательный ответ, найдем результат еще одного сложения: 1 + 0 = 1
.
Ответ:
единица на 3 не делится, значит и исходное число на 3 не делится.
Для того, чтобы определить, делится ли данное число на 3 без остатка, мы можем провести деление данного числа на 3 . Если разделить число − 543 205 из рассмотренного выше примера столбиком на три, то в ответе мы не получим целого числа. Это точно также значит, что − 543 205 на 3 без остатка не делится.
Доказательство признака делимости на 3
Здесь нам понадобятся следующие навыки: разложение числа по разрядам и правило умножения на 10 , 100 и т.д. Для того, чтобы провести доказательство, нам необходимо получить представление числа a вида , где a n , a n − 1 , … , a 0 – это цифры, которые располагаются слева направо в записи числа.
Приведем пример с использованием конкретного числа: 528 = 500 + 20 + 8 = 5 · 100 + 2 · 10 + 8 .
Запишем ряд равенств: 10 = 9 + 1 = 3 · 3 + 1 , 100 = 99 + 1 = 33 · 3 + 1 , 1 000 = 999 + 1 = 333 · 3 + 1 и проч.
А теперь подставим эти равенства вместо 10 , 100 и 1000 в равенства, приведенные ранее a = a n · 10 n + a n - 1 · 10 n - 1 + … + a 2 · 10 2 + a 1 · 10 + a 0 .
Так мы пришли к равенству:
a = a n · 10 n + … + a 2 · 100 + a 1 · 10 + a 0 = = a n · 33 . . . . 3 · 3 + 1 + … + a 2 · 33 · 3 + 1 + a 1 · 3 · 3 + 1 + a 0
А теперь применим свойства сложения и свойства умножения натуральных чисел для того, чтобы переписать полученное равенство следующим образом:
a = a n · 33 . . . 3 · 3 + 1 + . . . + + a 2 · 33 · 3 + 1 + a 1 · 3 · 3 + 1 + a 0 = = 3 · 33 . . . 3 · a n + a n + . . . + + 3 · 33 · a 2 + a 2 + 3 · 3 · a 1 + a 1 + a 0 = = 3 · 33 . . . 3 · a n + . . . + + 3 · 33 · a 2 + 3 · 3 · a 1 + + a n + . . . + a 2 + a 1 + a 0 = = 3 · 33 . . . 3 · a n + … + 33 · a 2 + 3 · a 1 + + a n + . . . + a 2 + a 1 + a 0
Выражение a n + . . . + a 2 + a 1 + a 0 - это сумма цифр исходного числа a . Введем для нее новое краткое обозначение А . Получаем: A = a n + . . . + a 2 + a 1 + a 0 .
В этом случае представление числа a = 3 · 33 . . . 3 · a n + . . . + 33 · a 2 + 3 · a 1 + A принимает такой вид, который нам будет удобно использовать для доказательства признака делимости на 3 .
Определение 1
Теперь вспомним следующие свойства делимости:
- необходимым и достаточным условием для того, чтобы целое число a делилось на целое число
b , является условие, по которому модуль числа a делится на модуль числа b ; - если в равенстве a = s + t все члены, кроме какого-то одного, делятся на некоторое целое число b , то и этот один член делится на b .
Мы заложили основу для того, чтобы провести доказательство признака делимости на 3 . Теперь же сформулируем этот признак в виде теоремы и докажем ее.
Теорема 1
Для того, чтобы утверждать, что целое число a делится на 3 , нам необходимо и достаточно, чтобы сумма цифр, которая образует запись числа a , делилась на 3 .
Доказательство 1
Если взять значение a = 0 , то теорема очевидна.
Если ы возьмем число a , отличное от нуля, то модуль числа a будет натуральным числом. Это позволяет нам записать следующее равенство:
a = 3 · 33 . . . 3 · a n + . . . + 33 · a 2 + 3 · a 1 + A , где A = a n + . . . + a 2 + a 1 + a 0 - сумма цифр числа a .
Так как сумма и произведение целых чисел есть целое число, то
33 . . . 3 · a n + . . . + 33 · a 2 + 3 · a 1 - целое число, тогда по определению делимости произведение 3 · 33 . . . 3 · a n + . . . + 33 · a 2 + 3 · a 1 делится на 3
при любых a 0 , a 1 , … , a n
.
Если сумма цифр числа a делится на 3 , то есть, A делится на 3 , то в силу свойства делимости, указанного перед теоремой, a делится на 3 , следовательно, a делится на 3 . Так доказана достаточность.
Если a
делится на 3
, то и a делится на 3
, тогда в силу того же свойства делимости число
A
делится на 3
, то есть, сумма цифр числа a
делится на 3
. Так доказана необходимость.
Другие случаи делимости на 3
Целые числа могут быть заданы как значение некоторого выражения, которое содержит переменную, при определенном значении этой переменной. Так, при некотором натуральном n значение выражения 4 n + 3 n - 1 является натуральным числом. В этом случае непосредственное деление на 3 не может дать нам ответ на вопрос, делится ли число на 3 . Применение признака делимости на 3 также может быть затруднено. Рассмотрим примеры таких задач и разберем методы их решения.
Для решения таких задач может быть применено несколько подходов. Суть одного из них заключается в следующем:
- представляем исходное выражение как произведение нескольких множителей;
- выясняем, может ли хотя бы один из множителей делиться на 3 ;
- на основе свойства делимости делаем вывод о том, что все произведение делится на 3 .
В ходе решения часто приходится прибегать к использованию формулы бинома Ньютона.
Пример 4
Делится ли значение выражения 4 n + 3 n - 1 на 3 при любом натуральном n ?
Решение
Запишем равенство 4 n + 3 n - 4 = (3 + 1) n + 3 n - 4 . Применим формулу бинома Ньютона бинома Ньютона:
4 n + 3 n - 4 = (3 + 1) n + 3 n - 4 = = (C n 0 · 3 n + C n 1 · 3 n - 1 · 1 + . . . + + C n n - 2 · 3 2 · 1 n - 2 + C n n - 1 · 3 · 1 n - 1 + C n n · 1 n) + + 3 n - 4 = = 3 n + C n 1 · 3 n - 1 · 1 + . . . + C n n - 2 · 3 2 + n · 3 + 1 + + 3 n - 4 = = 3 n + C n 1 · 3 n - 1 · 1 + . . . + C n n - 2 · 3 2 + 6 n - 3
Теперь вынесем 3 за скобки: 3 · 3 n - 1 + C n 1 · 3 n - 2 + . . . + C n n - 2 · 3 + 2 n - 1 . Полученное произведение содержит множитель 3 , а значение выражения в скобках при натуральных n представляет собой натуральное число. Это позволяет нам утверждать, что полученное произведение и исходное выражение 4 n + 3 n - 1 делится на 3 .
Ответ: Да.
Также мы можем применить метод математической индукции.
Пример 5
Докажите с использованием метода математической индукции, что при любом натуральном
n значение выражения n · n 2 + 5 делится на 3
.
Решение
Найдем значение выражения n · n 2 + 5 при n = 1 : 1 · 1 2 + 5 = 6 . 6 делится на 3 .
Теперь предположим, что значение выражения n · n 2 + 5 при n = k делится на 3 . Фактически, нам придется работать с выражением k · k 2 + 5 , которое, как мы ожидаем, будет делиться на 3 .
Учитывая, что k · k 2 + 5 делится на 3 , покажем, что значение выражения n · n 2 + 5 при n = k + 1 делится на 3 , то есть, покажем, что k + 1 · k + 1 2 + 5 делится на 3 .
Выполним преобразования:
k + 1 · k + 1 2 + 5 = = (k + 1) · (k 2 + 2 k + 6) = = k · (k 2 + 2 k + 6) + k 2 + 2 k + 6 = = k · (k 2 + 5 + 2 k + 1) + k 2 + 2 k + 6 = = k · (k 2 + 5) + k · 2 k + 1 + k 2 + 2 k + 6 = = k · (k 2 + 5) + 3 k 2 + 3 k + 6 = = k · (k 2 + 5) + 3 · k 2 + k + 2
Выражение k · (k 2 + 5) делится на 3 и выражение 3 · k 2 + k + 2 делится на 3 , поэтому их сумма делится на 3 .
Так мы доказали, что значение выражения n · (n 2 + 5) делится на 3 при любом натуральном n .
Теперь разберем подход к доказательству делимости на 3 , которых основан на следующем алгоритме действий:
- показываем, что значение данного выражения с переменной n при n = 3 · m , n = 3 · m + 1 и n = 3 · m + 2 , где m – произвольное целое число, делится на 3 ;
- делаем вывод о том, что выражение будет делиться на 3 при любом целом n .
Для того, чтобы не отвлекать внимание от второстепенных деталей, применим данный алгоритм к решению предыдущего примера.
Пример 6
Покажите, что n · (n 2 + 5) делится на 3 при любом натуральном n .
Решение
Предположим, что n = 3 · m . Тогда: n · n 2 + 5 = 3 m · 3 m 2 + 5 = 3 m · 9 m 2 + 5 . Произведение, которое мы получили, содержит множитель 3 , следовательно само произведение делится на 3 .
Предположим, что n = 3 · m + 1 . Тогда:
n · n 2 + 5 = 3 m · 3 m 2 + 5 = (3 m + 1) · 9 m 2 + 6 m + 6 = = 3 m + 1 · 3 · (2 m 2 + 2 m + 2)
Произведение, которое мы получили, делится на 3 .
Предположим, что n = 3 · m + 2 . Тогда:
n · n 2 + 5 = 3 m + 1 · 3 m + 2 2 + 5 = 3 m + 2 · 9 m 2 + 12 m + 9 = = 3 m + 2 · 3 · 3 m 2 + 4 m + 3
Это произведение также делится на 3 .
Ответ: Так мы доказали, что выражение n · n 2 + 5 делится на 3 при любом натуральном n .
Пример 7
Делится ли на 3 значение выражения 10 3 n + 10 2 n + 1 при некотором натуральном n .
Решение
Предположим что n = 1 . Получаем:
10 3 n + 10 2 n + 1 = 10 3 + 10 2 + 1 = 1000 + 100 + 1 = 1104
Предположим, что n = 2 . Получаем:
10 3 n + 10 2 n + 1 = 10 6 + 10 4 + 1 = 1000 000 + 10000 + 1 = 1010001
Так мы можем сделать вывод, что при любом натуральном n мы будем получать числа, которые делятся на 3 . Это значит, что 10 3 n + 10 2 n + 1 при любом натуральном n делится на 3 .
Ответ: Да
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Признак делимости на 2Число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра делится на 2, то есть является чётной.
Признак делимости на 3
Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3.
Признак делимости на 4
Число делится на 4 тогда и только тогда, когда число из двух последних его цифр нули или делится на 4.
Признак делимости на 5
Число делится на 5 тогда и только тогда, когда последняя цифра делится на 5 (то есть равна 0 или 5).
Признак делимости на 6
Число делится на 6 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и на 3.
Признак делимости на 7
Число делится на 7 тогда и только тогда, когда результат вычитания удвоенной последней цифры из этого числа без последней цифры делится на 7 (например, 259 делится на 7, так как 25 - (2 · 9) = 7 делится на 7).
Признак делимости на 8
Число делится на 8 тогда и только тогда, когда три его последние цифры - нули или образуют число, которое делится на 8.
Признак делимости на 9
Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9.
Признак делимости на 10
Число делится на 10 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на ноль.
Признак делимости на 11
Число делится на 11 тогда и только тогда, когда сумма цифр с чередующимися знаками делится на 11 (то есть 182919 делится на 11, так как 1 - 8 + 2 - 9 + 1 - 9 = -22 делится на 11) - следствие факта, что все числа вида 10 n при делении на 11 дают в остатке (-1) n .
Признак делимости на 12
Число делится на 12 тогда и только тогда, когда оно делится на 3 и на 4.
Признак делимости на 13
Число делится на 13 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с учетверённым числом единиц, кратно 13 (например, 845 делится на 13, так как 84 + (4 · 5) = 104 делится на 13).
Признак делимости на 14
Число делится на 14 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и на 7.
Признак делимости на 15
Число делится на 15 тогда и только тогда, когда оно делится на 3 и на 5.
Признак делимости на 17
Число делится на 17 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с увеличенным в 12 раз числом единиц, кратно 17 (например, 29053→2905+36=2941→294+12=306→30+72=102→10+24=34. Поскольку 34 делится на 17, то и 29053 делится на 17). Признак не всегда удобен, но имеет определенное значение в математике. Есть способ немного попроще – Число делится на 17 тогда и только тогда, когда разность между числом его десятков и упятеренным числом единиц, кратно 17(например, 32952→3295-10=3285→328-25=303→30-15=15. поскольку 15 не делится на 17, то и 32952 не делится на 17)
Признак делимости на 19
Число делится на 19 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, кратно 19 (например, 646 делится на 19, так как 64 + (6 · 2) = 76 делится на 19).
Признак делимости на 23
Число делится на 23 тогда и только тогда, когда число его сотен, сложенное с утроенным числом десятков, кратно 23 (например, 28842 делится на 23, так как 288 + (3 * 42) = 414 продолжаем 4 + (3 * 14) = 46 очевидно делится на 23).
Признак делимости на 25
Число делится на 25 тогда и только тогда, когда две его последние цифры делятся на 25 (то есть образуют 00, 25, 50 или 75)или число кратно 5.
Признак делимости на 99
Разобьем число на группы по 2 цифры справа налево (в самой левой группе может быть одна цифра) и найдем сумму этих групп, считая их двузначными числами. Эта сумма делится на 99 тогда и только тогда, когда само число делится на 99.
Признак делимости на 101
Разобьем число на группы по 2 цифры справа налево (в самой левой группе может быть одна цифра) и найдем сумму этих групп с переменными знаками, считая их двузначными числами. Эта сумма делится на 101 тогда и только тогда, когда само число делится на 101. Например, 590547 делится на 101, так как 59-05+47=101 делится на 101).
ПРИЗНАКИ ДЕЛИМОСТИ
чисел - простейшие критерии (правила), позволяющие судить о делимости (без остатка) одних натуральных чисел на другие. Решение вопроса о делимости чисел признаки делимости сводят к действиям над небольшими числами, обычно выполняемым в уме.
Так как основанием общепринятой системы счисления является 10, то наиболее простыми и распространенными являются признаки делимости на делители чисел трех видов: 10 k , 10 k - 1, 10 k + 1 .
Первый вид - признаки делимости на делители числа 10 k , для делимости любого целого числа N на любой целый делитель q числа 10 k необходимо и достаточно, чтобы последняя k-циферная грань (к-циферное окончание) числа N делилась на q. В частности (при к = 1, 2 и 3), получаем следующие признаки делимости на делители чисел 10 1 = 10 (I 1), 10 2 = 100 (I 2) и 10 3 = 1000 (I 3):
I 1 . На 2, 5 и 10 - одноциферное окончание (последняя цифра) числа должно делиться соответственно на 2, 5 и 10. Например, число 80 110 делится на 2, 5 и 10, так как последняя цифра 0 этого числа делится на 2, 5 и 10; число 37 835 делится на 5, но не делится на 2 и 10, так как последняя цифра 5 этого числа делится на 5. но не делится на 2 и 10.
I 2 . На 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50 и 100-двуциферное окончание числа должно делиться соответственно на 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50 и 100. Например, число 7 840 700 делится на 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50 и 100, так как двуциферное окончание 00 этого числа делится на 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50 и 100; число 10 831 750 делится на 2, 5, 10, 25 и 50, но не делится на 4, 20 и 100, так как двуциферное окончание 50 этого числа делится на 2, 5, 10, 25 и 50, но не делится на 4, 20 и 100.
I 3 . На 2, 4, 5, 8, 10, 20, 25, 40, 50, 100, 125, 200, 250, 500 и 1000 - трехциферное окончание числа должно делиться соответственно на 2,4,5,8,10, 20, 25, 40, 50, 100, 125, 200, 250, 500 и 1000. Например, число 675 081 000 делится на все перечисленные в этом признаке числа, так как на каждое из них делится трехциферное окончание 000 заданного числа; число 51 184 032 делится на 2, 4 и 8 и не делится на остальные, так как трехциферное окончание 032 заданного числа делится только на 2, 4 и 8 и не делится на остальные.
Второй вид - признаки делимости на делители числа 10 k - 1: для делимости любого целого числа N на любой целый делительq числа 10 k - 1 необходимо и достаточно, чтобы сумма k-циферных граней числа N делилась на q. В частности (при к=1, 2 и 3), получаем следующие признаки делимости на делители чисел 10 1 - 1 = 9 (II 1), 10 2 - 1=99 (II 2) и 10 3 - 1 = 999 (II 3):
II 1 . На 3 и 9 -сумма цифр (одноциферных граней) числа должна делиться соответственно на 3 и 9. Например, число 510 887 250 делится на 3 и 9, так как сумма цифр 5+1+0+8+8+7+2+5+0=36 (и 3+6=9) этого числа делится на 3 и 9; число 4 712 586 делится на 3, но не делится на 9, так как сумма цифр 4+7+1+2+5+8+6=33 (и 3+3=6) этого числа делится на 3, но не делится на 9.
II 2 . На 3, 9, 11, 33 и 99 - сумма двуциферных граней числа должна делиться соответственно на 3, 9, 11, 33 и 99. Например, число 396 198 297 делится на 3, 9, 11, 33 и 99, так как сумма двуциферных граней 3+96+19+ +82+97=297 (и 2+97=99) делится на 3, 9,11, 33 и 99; число 7 265 286 303 делится на 3, 11 и 33, но не делится на 9 и 99, так как сумма двуциферных граней 72+65+28+63+03=231 (и 2+31=33) этого числа делится на 3, 11 и 33 и не делится на 9 и 99.
II 3 . На 3, 9, 27, 37, 111, 333 и 999 - сумма трехциферных граней числа должна делиться соответственно на 3, 9, 27, 37, 111, 333 и 999. Например, число 354 645 871 128 делится на все перечисленные в этом признаке числа, так как на каждое из них делится сумма трехциферных граней 354+645+ +871 + 128=1998 (и 1 + 998 = 999) этого числа.
Третий вид - признаки делимости на делители числа 10 k + 1: для делимости любого целого числа N на любой целый делитель q числа 10 k + 1 необходимо и достаточно, чтобы разность между суммой k-циферных граней, стоящих в N на четных местах, и суммой k-циферных граней, стоящих в N на нечетных местах, делилась на q. В частности (при к = 1, 2 и 3), получаем следующие признаки делимости на делители чисел 10 1 + 1 =11 (III 1), 10 2 + 1 = 101 (III 2) и 10 3 +1 = 1001 (III 3).
III 1 . На 11 - разность между суммой цифр (одноциферных граней), стоящих на четных местах, и суммой цифр (одноциферных граней), стоящих на нечетных местах, должна делиться на 11. Например, число 876 583 598 делится на 11, так как разность 8 - 7+6 - 5+8 - 3+5 - 9+8=11 (и 1 - 1=0) между суммой цифр, стоящих на четных местах, и суммой цифр, стоящих на нечетных местах, делится на 11.
III 2 . На 101 - разность между суммой двуциферных граней, стоящих в числе на четных местах, и суммой двуциферных граней, стоящих на нечетных местах, должна делиться на 101. Например, число 8 130 197 делится на 101, так как разность 8-13+01-97 = 101 (и 1-01=0) между суммой двуциферных граней, стоящих в этом числе на четных местах, и суммой двуциферных граней, стоящих на нечетных местах, делится на 101.
III 3 . На 7, 11, 13, 77, 91, 143 и 1001 - разность между суммой трехциферных граней, стоящих в числе на четных местах, и суммой трехциферных граней, стоящих на нечетных местах, должна делиться соответственно на 7, 11, 13, 77, 91, 143 и 1001. Например, число 539 693 385 делится на 7, 11 и 77, но не делится на 13, 91, 143 и 1001, так как 539 - 693+385=231 делится на 7, 11 и 77 и не делится на 13, 91, 143 и 1001.
Из школьной программы многие помнят, что существуют признаки делимости. Под данным словосочетанием понимают правила, которые позволяют достаточно быстро определить, является ли число кратным заданному, не совершая при этом непосредственную арифметическую операцию. Данный способ основан на действиях, совершаемых с частью цифр из записи в позиционной
Самые простые признаки делимости многие помнят из школьной программы. Например, то, что на 2 делятся все числа, последняя цифра в записи которых четная. Данный признак наиболее легко запомнить и применять на практике. Если говорить о способе деления на 3, то для многозначных чисел применяется следующее правило, которое можно показать на таком примере. Необходимо узнать, будет ли 273 кратно трем. Для этого выполняем следующую операцию: 2+7+3=12. Полученная сумма делится на 3, следовательно, и 273 будет делиться на 3 таким образом, что в результате получится целое число.
Признаки делимости на 5 и 10 будут следующие. В первом случае запись будет оканчиваться на цифры 5 или 0, во втором случае только на 0. Для того чтобы узнать, кратно ли делимое четырем, следует поступить следующим образом. Необходимо вычленить две последние цифры. Если это два нуля или число, которое делится на 4 без остатка, то и все делимое будет кратно делителю. Нужно отметить, что перечисленные признаки используются только в десятичной системе. Они не применяются в других способах счисления. В таких случаях выводятся свои правила, которые зависят от основания системы.
Признаки деления на 6 следующие. 6 в том случае, если оно кратно и 2, и 3. Для того чтобы определить, делится ли число на 7, нужно удвоить последнюю цифру в его записи. Полученный результат вычитается из первоначального числа, в котором не учитывается последняя цифра. Данное правило можно рассмотреть на следующем примере. Необходимо узнать, кратно ли 364. Для этого 4 умножается на 2, получается 8. Далее выполняется следующее действие: 36-8=28. Полученный результат кратен 7, а, следовательно, и первоначальное число 364 можно разделить на 7.
Признаки делимости на 8 звучат следующим образом. Если три последних цифры в записи числа образуют число, которое кратно восьми, то и само число будет делиться на заданный делитель.
Узнать, делится ли многозначное число на 12, можно следующим образом. По перечисленным выше признакам делимости необходимо узнать, кратно ли число 3 и 4. Если они могут выступать одновременно делителями для числа, то с заданным делимым можно проводить и операцию деления на 12. Подобное правило применяется и для других сложных чисел, например, пятнадцати. При этом делителями должны выступать 5 и 3. Чтобы узнать, делится ли число на 14, следует посмотреть, кратно ли оно 7 и 2. Так, можно рассмотреть это на следующем примере. Необходимо определить, можно ли 658 разделить на 14. Последняя цифра в записи четная, следовательно, число кратно двум. Далее мы 8 умножаем на 2, получаем 16. Из 65 нужно вычесть 16. Результат 49 делится на 7, как и все число. Следовательно, 658 можно разделить и на 14.
Если две последние цифры в заданном числе делятся на 25, то и все оно будет кратно этому делителю. Для многозначных чисел признак делимости на 11 будет звучать следующим образом. Необходимо узнать, кратна ли заданному делителю разность сумм цифр, которые стоят на нечетных и четных местах в его записи.
Нужно отметить, что признаки делимости чисел и их знание очень часто значительно упрощает многие задачи, которые встречаются не только в математике, но и в повседневной жизни. Благодаря умению определить, кратно ли число другому, можно быстро выполнять различные задания. Помимо этого, применение данных способов на занятиях математики поможет развивать у студентов или школьников, будет способствовать развитию определенных способностей.
Еткарева Алина
Исследовательский учебный проект для 6 класса
Скачать:
Предварительный просмотр:
Районная научная конференция учащихся
Секция «Математика»
«Признаки делимости натуральных чисел »
Еткарева Алина,
Ученица 6 класса
ГБОУ СОШ ж.-д.ст. Погрузная
Научный руководитель:
Степанова Галина Алексеевна
учитель математики
ГБОУ СОШ ж.-д.ст. Погрузная
С. Кошки
Введение………………………………………………………………………...3
1. Глава 1. Немного истории …………………………………………….4 -5
2. Глава 2. Признаки делимости
2.1.Признаки делимости натуральных чисел на 2, на 3(9) на 5, на 10, изучаемые в школе……………………………………………………………….5-6
2.2. Признаки делимости натуральных чисел на 4, 6, 8, 15, 25, 50, 100, 1000, полученные самостоятельно……………………………………………………..6-7
2.3. Признаки делимости на 7, 11, 12, 13, 14, 19, 37, описанные в разных источниках.............................................................................................................8-11
3.Глава 3. Применение признаков делимости натуральных чисел при решении задач...................................................................................................11-14
Заключение. …………………………………………………………..15
Список использованной литературы………………………………………16
Введение
Актуальность: При изучении темы: «Признаки делимости натуральных чисел на 2, 3, 5, 9, 10» меня заинтересовал вопрос о делимости чисел. Известно, что не всегда одно натуральное число делится на другое натуральное число без остатка. При делении натуральных чисел, мы получаем остаток, допускаем ошибки, в результате - теряем время. Признаки делимости помогают, не выполняя деления, установить, делится ли одно натуральное число на другое. Я решила написать исследовательскую работу по данной теме.
Гипотеза: Если можно определить делимость натуральных чисел на 2, 3, 5, 9, 10, то должны быть признаки, по которым можно определить делимость натуральных чисел и на другие числа.
Объект исследования: Делимость натуральных чисел.
Предмет исследования: Признаки делимости натуральных чисел.
Цель: Дополнить уже известные признаки делимости натуральных чисел нацело, изученные мною.
Задачи:
- Изучить историографию вопроса.
- Повторить признаки делимости на 2, 3. 5, 9, 10, изученные мною в школе.
- Исследовать самостоятельно признаки делимости натуральных чисел на 4, 6, 8, 15, 25, 50, 100, 1000.
- Изучить дополнительную литературу, подтверждающую правильность гипотезы о существовании других признаков делимости натуральных чисел и правильность выявленных мной признаков делимости.
- Выписать найденные из дополнительной литературы признаки делимости натуральных чисел на 7, 11, 12, 13, 14, 19, 37.
- Сделать вывод.
- Составить слайдовую презентацию на тему: «Признаки делимости».
- Составить брошюру «Признаки делимости натуральных чисел».
Новизна:
В ходе выполнения проекта я пополнила свои знания о признаках делимости натуральных чисел.
Методы исследования: Сбор материала, обработка данных, наблюдение, сравнение, анализ, обобщение.
Глава 1. Немного из истории.
Признак делимости – это правило, по которому, не выполняя деления можно определить, делится ли одно натуральное число на другое. Признаки делимости всегда интересовали ученых разных стран и времен.
Признаки делимости на 2, 3, 5, 9, 10, были известны с давних времен. Признак делимости на 2 знали древние египтяне за 2 тысячи лет до нашей эры, а признаки делимости на 2, 3, 5 были обстоятельно изложены итальянским математиком Леонардо Фибоначчи (1170-1228г.г.).
При изучении темы: «Простые и составные числа» меня заинтересовал вопрос о составлении таблицы простых чисел, так как простые числа играют важную роль в изучении всех остальных чисел. Оказывается, над этим же вопросом в свое время задумался живший в 3 веке до нашей эры александрийский ученый Эратосфен. Его метод составления списка простых чисел назвали «решето Эратосфена». Пусть надо найти все простые числа до 100. Напишем подряд все числа до 100.
1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7 , 8, 9, 10 , 11, 12 , 13, 14, 15, 16 , 17, 18 , 19, 20, 21, 22 , 23 , 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30 , 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37 , 38, 39, 40, 41 , 42, 43, 44, 45, 46 , 47, 48, 49, 50, 51, 52 , 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60 , 61 , 62, 63, 64, 65, 66 , 67, 68, 69, 70 , 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78 , 79, 80, 81, 82 , 83 , 84, 85, 86, 87, 88 , 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96 , 97, 98, 99, 100 .
Оставив число 2, зачеркнем все остальные четные числа. Первым уцелевшим числом после 2 будет 3. Теперь, оставив число 3, зачеркнем числа, делящиеся на 3. Затем зачеркнем числа, делящиеся на 5. В результате все составные числа окажутся вычеркнутыми и останутся только простые числа: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97. По этому методу можно составлять списки простых чисел, больших 100.
Вопросы делимости чисел рассматривались пифагорейцами. В теории чисел ими была проведена большая работа по типологии натуральных чисел. Пифагорейцы делили их на классы. Выделялись классы: совершенных чисел (число равное сумме своих собственных делителей, например: 6=1+2+3), дружественных чисел (каждое из которых равно сумме делителей другого, например 220 и 284: 284=1+2+4+5+10+20+11+22+44+55+110; 220=1+2+4+71+142), фигурных чисел (треугольное число, квадратное число), простых чисел и др.
Блез Паскаль Пифагор. Леонардо Пизанский Эратосфен
(Фибоначчи)
Большой вклад в изучение признаков делимости чисел внес Блез Паскаль (1623-1662г.г.). Юный Блез очень рано проявил выдающиеся математические способности, научившись считать раньше, чем читать. Вообще, его пример - это классический случай детской математической гениальности. Свой первый математический трактат «Опыт теории конических сечений» он написал в 24 года. Примерно в это же время он сконструировал механическую суммирующую машинку, прообраз арифмометра. В ранний период своего творчества (1640-1650г.г.) разносторонний ученый нашел алгоритм для нахождения признаков делимости любого целого числа на любое другое целое число, из которого следуют все частные признаки. Его признак состоит в следующем: Натуральное число а разделится на другое натуральное число b только в том случае, если сумма произведений цифр числа a на соответствующие остатки, получаемые при делении разрядных единиц на число b, делится на это число.
Т.о., признаки делимости были известны с давних времен и интересовали математиков.
Глава 2. Признаки делимости
2.1.Признаки делимости натуральных чисел, изучаемые в школе.
При изучении данной темы необходимо знать понятия делитель, кратное, простое и составное числа.
Делителем натурального числа а называют натуральное число b , на которое а делится без остатка.
Часто утверждение о делимости числа а на число b выражают другими равнозначными словами: а кратно b , b - делитель а , b делит а .
Простыми называются натуральные числа, которые имеют два делителя: 1 и само число. Например, числа 5,7,19 – простые, т.к. делятся на 1 и само себя.
Числа, которые имеют более двух делителей, называются составными. Например, число 14 имеет 4 делителя: 1, 2, 7, 14, значит оно составное.
Т.о…..
2.2.Признаки делимости натуральных чисел на 4, 6, 8, 15, 25, 50, 100, 1000, полученные самостоятельно .
Выполняя действия деления, умножения натуральных чисел, наблюдая за результатами действий, я нашла закономерности и получила следующие признаки делимости.
Признак делимости на 4.
25·4=1 00 ; 56·4=2 24 ; 123·4=4 92 ; 125·4=5 00 ; 2345·4=93 80 ; 2500·4=100 00 ;
Умножая натуральные числа на 4, я заметила, что числа, образованные из двух последних цифр числа, делятся на 4 без остатка.
Признак делимости на 4 читается так: Натуральное ч
Признак делимости на 6.
Заметим, что 6=2·3 Признак делимости на 6 : Если натуральное число одновременно делится на 2 и на 3, то оно делится на 6.
Примеры:
216 делится на 2 (оканчивается 6) и делится на 3 (8+1+6=15, 15׃3), значит, число делится на 6.
Признак делимости на 8.
Умножая натуральное число на 8, я заметила такую закономерность, числа оканчиваются на три 0-ля или три последние цифры составляют число, которое делится на 8.
Значит, признак таков. Натуральное ч
Признак делимости на 15.
Заметим, что 15=3·5
Примеры:
Признак делимости на 25.
Выполняя умножение натуральных различных чисел на 25, я увидела такую закономерность: произведения оканчиваются на 00, 25, 50, 75.
Значит, натуральное число делится на 25, если оканчивается на 00, 25, 50, 75.
Признак делимости на 50.
На 50 делятся числа: 50, 1
Значит, натуральное число делится на 50 тогда и только тогда, когда оканчивается двумя нулями или 50.
Если в конце натурального числа стоят столько же нулей сколько в разрядной единице, то это число делится на эту разрядную единицу.
Примеры:
25600 делится на 100, т.к. числа оканчиваются на одинаковое количество нулей. 8975000 делится на 1000, т.к. оба числа оканчиваются на 000.
Т.о., выполняя действия с числами и подмечая закономерности, я сформулировала признаки делимости и из дополнительной литературы нашла подтверждение правильности сформулированных мною признаков делимости натуральных чисел на 4, 6, 8, 15, 25, 50, 100, 1000.
2.3.Признаки делимости натуральных чисел на 7, 11, 12, 13, 14, 19, 37, описанные в различных источниках.
Из дополнительной литературы я нашла несколько признаков делимости натуральных чисел на 7.
П ризнаки делимости на 7:
Примеры:
479345 не делится на 7, т.к. 479-345=134, 134 не делится на 7.
Примеры:
4592 делится на 7, т.к. 45·2=90, 90+92=182, 182 делится на 7.
57384 не делится на 7, т.к. 573·2=1146, 1146+84=1230,1230 не делится на 7
аbа
Примеры:
bаа
Примеры:
ааb
Примеры:
bаа
Примеры:
Примеры:
Примеры:
10׃7=1 (ост 3)
100׃7=14 (ост 2)
1000׃7=142 (ост 6)
10000׃7=1428 (ост 4)
100000׃7=14285 (ост 5)
6 +3· 2 +1· 3 +6=21, 21/7(6-ост. от деления 1000 на 7; 2-ост. от деления 100 на 7; 3- ост. от деления 10 на 7).
Число 354722 не делится на7,т.к. 3·5+5·4+4·6+7·2+2·3+2=81, 81 не делится на 7(5-ост. от деления 100 000 на 7; 4 -ост. от деления 10 000 на 7; 6-ост. от деления 1000 на 7; 2-ост. от деления 100 на 7; 3-ост. от деления 10 на 7).
Признаки делимости на 11.
Пример:
2 1 3 5 7 0 4
1 3 5 2 7 3 6
Примеры:
Признак делимости на 12.
Примеры:
Признаки делимости на 13.
Примеры:
Примеры:
Признак делимости на 14.
Примеры:
Число 35882 делится на 2 и на 7, значит, оно делится на 14.
Признак делимости на 19.
Примеры:
153 4
182 4 182+4·2=190, 190/19, значит, число 1824/19.
Признаки делимости на 37 .
Пример:
Т.о., в се перечисленные признаки делимости натуральных чисел можно разделить на 4 группы:
1группа- когда делимость чисел определяется по последней(им) цифрой (ми) – это признаки делимости на 2, на 5,на разрядную единицу, на 4, на 8, на 25, на 50;
2 группа – когда делимость чисел определяется по сумме цифр числа – это признаки делимости на3, на 9, на 7(1 признак), на 11, на 37;
3 группа – когда делимость чисел определяется после выполнения каких-то действий над цифрами числа – это признаки делимости на 7, на 11, на 13, на 19;
4 группа – когда для определения делимости числа используются другие признаки делимости –это признаки делимости на 6, на12, на 14, на 15.
Глава 3. Применение признаков делимости натуральных чисел при решении задач.
Признаки делимости применяются при нахождении НОД и НОК, а также при решении текстовых задач на применении НОД и НОК.
Задача 1:
Ученики 5 класса купили 203 учебника. Каждый купил одинаковое количество книг. Сколько было пятиклассников, и сколько учебников купил каждый из них?
Решение: Обе величины, которые требуется определить должны быть целыми числами, т.е. находиться среди делителей числа 203. Разложив 203 на множители, получаем: 203 = 1 ∙ 7 ∙ 29.
Из практических соображений .
Ответ :
Задача 2 .
Решение:
Ответ:
Задача 3: В 9 классе за контрольную работу 1/7 учеников получили пятёрки, 1/3 – четверки, 1/2 - тройки. Остальные работы оказались неудовлетворительными. Сколько было таких работ?
Решение:
Математические отношения задачи допускают, что число учеников в классе 84, 126 и т.д. человек. Но из соображений здравого смысла следует, что наиболее приемлемым ответом является число 42.
Ответ: 1 работа.
Задача 4.
Решение : В первом из этих классов могло быть: 17, 34, 51… - числа, кратные 17. Во втором классе: 9, 18, 27, 36, 45, 54… - числа, кратные 9. Нам нужно выбрать 1 число из первой последовательности, а 2 число из второй так, чтобы они в сумме давали 70. Причем в этих последовательностях только небольшое число членов могут выражать возможное количество детей в классе. Это соображение существенно ограничивает перебор вариантов. Возможным единственным вариантом оказалась пара (34, 36).
Ответ:
Задача 5.
Решение:
Ответ:
Задача 6. Два автобуса отправляются от одной площади по разным маршрутам. У одного из автобусов рейс туда и обратно длится 48 мин, а у другого 1 ч 12 мин. Через сколько времени автобусы снова встретятся на этой же площади?
Решение:
Ответ:
Задача 7 . Дана таблица:
Ответ:
Задача 8.
Ответ:
Задача 9.
Ответ:
Т.о, мы убедились в применении признаков делимости натуральных чисел при решении задач.
Заключение.
В процессе работы я познакомилась с историей развития признаков делимости. Сама правильно сформулировала признаки делимости натуральных чисел на 4, 6, 8, 15, 25, 50, 100, 1000., чему нашла подтверждение из дополнительной литературы. Рботая с разными источниками, я убедилась в том, что существуют другие признаки делимости натуральных чисел (на 7, 11, 12, 13, 14, 19, 37), что подтвердило правильность гипотезы о существовании других признаков делимости натуральных чисел.
Из дополнительной литературы нашла задачи, при решении которых применяются признаки делимости натуральных чисел.
Знание и использование выше перечисленных признаков делимости натуральных чисел значительно упрощает многие вычисления, экономит время; исключает вычислительные ошибки, которые можно сделать при выполнении действия деления. Следует отметить, что формулировки некоторых признаков сложноваты. Может быть, поэтому они не изучаются в школе.
Собранный мной материал я оформила в виде брошюры, которую можно использовать на занятиях математикой, на занятиях математического кружка. Учителя математики могут использовать его при изучении данной темы. Также рекомендую ознакомиться со своей работой тем сверстникам, которые хотят знать о математике больше, чем рядовой школьник.
В дальнейшем можно рассмотреть такие вопросы:
Вывод признаков делимости;
Выяснить,существуют ли еще признаки делимости, для исследования которых у меня не хватает пока знаний?
Список использованной литературы (источников):
- Галкин В.А. Задачи по теме «Признаки делимости ».// Математика, 1999.-№5.-С.9.
- Гусев В.А., Орлов А.И., Розенталь А.Л. Внеклассная работа по математике в 6-8 классах.- М.: Просвещение, 1984.
- Каплун Л.М. НОД и НОК в задачах. // Математика, 1999.- №7. – С. 4-6.
- Пельман Я.И. Математика – это интересно! – М.: ТЕРРА – Книжный клуб, 2006.
- Энциклопедический словарь юного математика./ Сост. Савин А.П. – М.: Педагогика, 1989. – С. 352.
- Internet
Признаки делимости
На 5.
Если число оканчивается на 0, 5.
На 2.
Если число оканчивается на 0, 2, 4, 6, 8
На 10.
Если число оканчивается на 0
На 3 (9).
Если сумма цифр числа делится на 3 (9).
Предварительный просмотр:
Ответ:
Задача 8.
Напишите какое – нибудь девятизначное число, в котором нет повторяющихся цифр (все цифры разные) и которое делится без остатка на 11. Напишите наибольшее из таких чисел, наименьшее из них.
Ответ: Наибольшее – 987652413, наименьшее – 102347586.
Задача 9.
Ваня задумал простое трехзначное число, все цифры которого различны. На какую цифру оно может оканчиваться, если его последняя цифра равна сумме первых двух. Приведите примеры таких чисел.
Ответ: Может оканчиваться только на цифру 7. Таких чисел 4: 167, 257, 347, 527.
Признак делимости на 2
Если натуральное число оканчивается на 2, 4, 6, 8, 0, то оно делится на 2 без остатка.
Признак делимости на 5.
Если число оканчивается на 0 или 5, то оно делится на 5 без остатка.
Признак делимости на 3
Если сумма цифр числа делится на 3, то и число делится на 3.
Примеры
684: 3, т. к. 6+ 8 + 4=18 , 18: 3, значит и число: на 3.
763 не: на3, т.к. 7+6+3=16, 16 не: на 3,значит 763 не: на 3.
Признак делимости на 9
Если сумма цифр числа делится на 9, то и само число делится на 9.
Примеры
765: 9, т. к. 7+6+5=18, 18: 9, значит 765: 9
881 не: на9, т.к. 8+8+1=17, 17 не: на 9, значит 881 не: на 9.
Признак делимости на 4.
25·4=1 00 ; 56·4=2 24 ; 123·4=4 92 ; 125·4=5 00 ; 2345·4=93 80 ; 2500·4=100 00 ; …
Натуральное ч исло делится на 4 тогда и только тогда, когда две его последние цифры 0 или образуют число, делящееся на 4.
Признак делимости на 6.
Заметим, что 6=2·3 Признак делимости на 6 :
Если натуральное число одновременно делится на 2 и на 3, то оно делится на 6.
Примеры:
816 делится на 2 (оканчивается 6) и делится на 3 (8+1+6=15, 15׃3), значит, число делится на 6.
625 не делится ни на 2, ни на 3, значит, не делится на 6.
2120 делится на 2 (оканчивается 0), но не делится на 3 (2+1+2+0=5, 5 не делится на 3), значит, число не делится на 6.
279 делится на 3 (2+7+9=18, 18:3), но не делится на 2 (оканчивается нечетной цифрой), значит, число не делится на 6.
Признак делимости на 7.
Ι. Натуральное число делится на 7 тогда и только тогда, когда разность числа тысяч и числа, выражаемого последними тремя цифрами, делится на 7.
Примеры:
478009 делится на 7, т.к. 478-9=469, 469 делится на 7.
475341 не делится на 7, т.к. 475-341=134, 134 не делится на 7.
ΙΙ. Натуральное число делится на 7, если сумма удвоенного числа, стоящего до десятков и оставшегося числа делится на 7.
Примеры:
4592 делится на 7, т.к. 45·2=90, 90+92=182, 182/7.
мин, а у другого 1 ч 12 мин. Через сколько времени автобусы снова встретятся на этой же площади?
Решение: НОК(48, 72) = 144 (мин). 144 мин = 2 ч 24 мин.
Ответ: Через 2 ч 24 мин автобусы снова встретятся на этой же площади.
Задача 7 . Дана таблица:
В пустые клетки впишите следующие числа: 17, 22, 36, 42, 88, 48, 57, 77, 81.
Решение : В первом из этих классов могло быть: 17, 34, 51… - числа, кратные 17. Во втором классе: 9, 18, 27, 36, 45, 54… - числа, кратные 9. Нам нужно выбрать 1 число из первой последовательности, а 2 число из второй так, чтобы они в сумме давали 70. Причем в этих последовательностях только небольшое число членов могут выражать возможное кол-во детей в классе. Это соображение существенно ограничивает перебор вариантов. Возможным единственным вариантом оказалась пара (34, 36).
Ответ: В первом классе – 34 ученика, во втором классе – 36 учеников.
Задача 5.
Какое наименьшее число одинаковых подарков можно сделать из 320 орехов, 240 конфет, 200 яблок? Сколько орехов, конфет и яблок будет в каждом подарке?
Решение: НОД(320, 240, 200) = 40 (подарков), тогда в каждом подарке будет: 320:40 = 8 (орехов); 240: 40 = 6 (конфет); 200:40 = 5 (яблок).
Ответ: В каждом подарке по 8 орехов, 6 конфет, 5 яблок.
Задача 6.
Два автобуса отправляются от одной площади по разным маршрутам. У одного из автобусов рейс туда и обратно длится 48
57384 не делится на 7, т.к. 573·2=1146, 1146+84=1230, 1230 не делится на 7.
ΙΙΙ. Трехзначное натуральное число вида аbа будет делиться на 7, если а+b делится на 7.
Примеры:
252 делится на 7, т.к. 2+5=7, 7/7.
636 не делится на 7, т.к. 6+3=9, 9 не делится на 7.
IV. Трехзначное натуральное число вида bаа будет делиться на 7, если сумма цифр числа делится на 7.
Примеры:
455 делится на 7, т.к. 4+5+5=14, 14/7.
244 не делится на 7, т.к. 2+4+4=12, 12 не делится на 7.
V. Трехзначное натуральное число вида ааb будет делиться на 7, если 2а-b делится на 7.
Примеры:
882 делится на 7,т.к. 8+8-2=14, 14/7.
996 не делится на 7, т.к. 9+9-6=12, 12 не делится на 7.
VI. Четырехзначное натуральное число вида bаа , где b-двухзначное число, будет делиться на 7, если b+2а делится на 7.
Примеры:
2744 делится на 7, т.к. 27+4+4=35, 35/7.
1955 не делится на 7, т.к. 19+5+5=29, 29 не делится на 7.
VII. Натуральное число делится на 7 тогда и только тогда, когда результат вычитания удвоенной последней цифры из этого числа без последней цифры делится на 7.
Примеры:
483 делится на 7, т.к. 48-3·2=42, 42/7.
564 не делится на 7, т.к. 56-4·2=48, 48 не делится на 7.
VIII. Натуральное число делится на 7 тогда и только тогда, когда сумма произведений цифр числа на соответствующие остатки получаемые при делении разрядных единиц на число 7, делится на 7.
Примеры:
10׃7=1 (ост 3)
100׃7=14 (ост 2)
1000׃7=142 (ост 6)
10000׃7=1428 (ост 4)
100000׃7=14285 (ост 5)
1000000׃7=142857 (ост 1) и снова повторяются остатки.
Число 1316 делится на 7, т.к. 1· 6 +3· 2 +1· 3 +6=21, 21/7 (6-остаток от деления 1000 на 7; 2-остаток от деления 100 на 7; 3- остаток от деления 10 на 7).
Число 354722 не делится на7,т.к. 3·5+5·4+4·6+7·2+2·3+2=81, 81 не делится на 7(5-остаток от деления 100 000 на 7; 4 -остаток от деления 10 000 на 7; 6-остаток от деления 1000 на 7; 2-остаток от деления 100 на 7; 3-остаток от деления 10 на 7).
Количество подарков должно быть делителем каждого из чисел, выражающих количество апельсинов, конфет и орехов, причем наибольшим из этих чисел. Поэтому надо найти НОД данных чисел. НОД (60, 175, 225) = 15. Каждый подарок будет содержать: 60: 15 = 4 – апельсина, 175: 15 = 11 – орехов и 225: 15 = 15 – конфет.
Ответ: В одном подарке – 4 апельсина, 11 орехов, 15 конфет.
Задача 3: В 9 классе за контрольную работу 1/7 учеников получили пятёрки, 1/3 – четверки, ½ - тройки. Остальные работы оказались неудовлетворительными. Сколько было таких работ?
Решение: Решением задачи должно являться число, кратное числам: 7, 3, 2. Найдем сначала наименьшее из таких чисел. НОК (7, 3, 2) = 42. Можно составить выражение по условию задачи: 42 – (42: 7 + 42: 3 + 42: 2) = 1 – 1 неуспевающий.
Математические отношение отношения задачи допускают, что число учеников в классе 84, 126 и т.д. человек. Но из соображений здравого смысла следует, что наиболее приемлемым ответом является число 42.
Ответ: 1 работа.
Задача 4.
В двух классах вместе 70 учеников. В одном классе 7/17 учеников не явились на занятия, а в другом 2/9 получили отличные отметки по математике. Сколько учеников в каждом классе?
Примеры:
25600 делится на 100, т.к. числа оканчиваются на одинаковое количество нулей.
8975000 делится на 1000, т.к. оба числа оканчиваются на 000.
Задача 1: (Использование общих делителей и НОД)
Ученики 5 «А» класса купили 203 учебника. Каждый купил одинаковое количество книг. Сколько было пятиклассников, и сколько учебников купил каждый из них?
Решение: Обе величины, которые требуется определить должны быть целыми числами, т.е. находиться среди делителей числа 203. Разложив 203 на множители, получаем:
203 = 1 ∙ 7 ∙ 29.
Из практических соображений следует, что учебников не может быть 29. также число учебников не может равняться 1, т.к. в этом случае учеников было бы 203. Значит, пятиклассников – 29 и каждый из них купил по 7 учебников .
Ответ : 29 пятиклассников; 7 учебников
Задача 2 . Имеется 60 апельсинов, 165 орехов и 225 конфет. Какое наибольшее число одинаковых подарков для детей можно сделать из этого запаса? Что войдёт в каждый набор?
Решение:
Признак делимости на 8.
125·8=1 000 ; 242·8=1 936 ; 512·8=4 096 ; 600·8=4 800 ; 1234·8=9 872 ; 122875·8=983 000 ;…
Натуральное ч исло делится на 8 тогда и только тогда, когда три его последние цифры делятся 0 или составляют число, делящееся на 8.
Признаки делимости на 11.
I. Число делится на 11, если разность суммы цифр стоящих на нечетных местах, и суммы цифр, стоящих на четных местах кратна 11.
Разность может быть отрицательным числом или 0, но обязательно должна быть кратной 11. Нумерация идет слева направо.
Пример:
2 1 3 5 7 0 4 2+3+7+4=16, 1+5+0=6, 16-6=10, 10 не кратно 11, значит, это число не делится на 11.
1 3 5 2 7 3 6 1+5+7+6=19, 3+2+3=8, 19-8=11, 11 кратно 11, значит, это число делится на 11.
2 1 3 5 7 0 4 2+3+7+4=16, 1+5+0=6, 16-6=10, 10 не кратно 11, значит, это число не делится на 11.
1 3 5 2 7 3 6 1+5+7+6=19, 3+2+3=8, 19-8=11, 11 кратно 11, значит, это число делится на 11.
II. Натуральное число разбивают справа налево на группы по 2 цифры в каждой и складывают эти группы. Если получаемая сумма кратна 11, то испытуемое число кратно 11.
Пример: Определим, делится ли число 12561714 на 11.
Разобьем число на группы по две цифры в каждой: 12/56/17/14; 12+56+17+14=99, 99 делится на 11, значит, данное число делится на 11.
III. Трехзначное натуральное число делится на 11, если сумма боковых цифр числа равна цифре, которая в середине. Ответ будет состоять из тех самых боковых цифр.
Примеры:
594 делится на11, т.к. 5+4=9, 9-в середине.
473 делится на 11, т.к. 4+3=7, 7- в середине.
861 не делится на 11, т.к. 8+1=9, а в середине 6.
Признак делимости на 12.
Натуральное число делится на 12 тогда и только тогда, когда оно делится на 3 и 4 одновременно.
Примеры:
636 делится на 3 и на 4, значит, оно делится на 12.
587 не делится ни на 3, ни на 4, значит, оно не делится на 12.
27126 делится на 3, но не делится на 4, значит, оно не делится на 12.
Признаки делимости на 37 .
I. Натуральное число делится на 37, если сумма чисел, образованных тройками цифр данного числа в десятичной записи делится соответственно на 37.
Пример: Определим, делится ли число 100048 на 37.
100/048 100+48=148, 148 делится на 37, значит, и число делится на 37.
II. Трехзначное натуральное число, написанное одинаковыми цифрами делится на 37.
Пример:
Числа 111, 222, 333, 444, 555, …делятся на 37.
Признак делимости на 25
Натуральное число делится на 25, если оно оканчивается на 00, 25, 50, 75.
Признак делимости на 50.
На 50 делятся числа: 50, 1 00 , 1 50 , 2 00 , 2 50 , 3 00 ,… Они оканчиваются либо на 50, либо на 00.
Натуральное число делится на 50 тогда и только тогда, когда оканчивается двумя нулями или 50.
Объединенный признак делимости на 10, 100, 1000, …
Если в конце натурального числа стоят столько же нулей сколько в разрядной единице, то это число делится на эту разряд-
ную единицу.
Признаки делимости на 13.
I. Натуральное число делится на 13, если разность числа тысяч и числа, образованного последними тремя цифрами, делится на 13.
Примеры:
Число 465400 делится на 13, т.к. 465 – 400 = 65, 65 делится на 13.
Число 256184 не делится на 13, т.к. 256 – 184 = 72, 72 не делится на 13.
II. Натуральное число делится на 13 тогда и только тогда, когда результат вычитания последней цифры, умноженной на 9, из этого числа без последней цифры, делится на 13.
Примеры:
988 делится на 13, т.к. 98 - 9·8 = 26, 26 делится на 13.
853 не делится на 13, т.к. 85 - 3·9 = 58, 58 не делится на 13.
Признак делимости на 14.
Натуральное число делится на 14 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и на 7 одновременно.
Примеры:
Число 45826 делится на 2, но не делится на 7, значит, оно не делится на 14.
Число 1771 делится на 7, но не делится на 2, значит, оно не делится на 14.
Признак делимости на 15.
Заметим, что 15=3·5. Если натуральное число одновременно делится и на 5 и на 3, то оно делится на 15.
Примеры:
346725 делится на 5 (оканчивается 5) и делится на 3 (3+4+6+7+2+5=24, 24:3), значит, число делится на 15.
48732 делится на 3 (4+8+7+3+2=24, 24:3), но не делится на 5,значит, число не делится на 15.
87565 делится на 5 (оканчивается 5), но не делится на 3 (8+7+5+6+5=31, 31 не делится на 3), значит, число не делится на 15.
Признак делимости на 19.
Натуральное число делится на 19 без остатка тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, делится на 19.
Следует учесть, что число десятков в числе надо считать не цифру в разряде десятков, а общее число целых десятков во всем числе.
Примеры:
153 4 десятков-153, 4·2=8, 153+8=161, 161 не делится на 19,значит, и 1534 не делится на 19.
182 4 182+4·2=190, 190:19, значит, число 1824: 19.
ГБОУ СОШ ж.-д. ст. Погрузная ПРИЗНАКИ ДЕЛИМОСТИ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ Составила Еткарева Алина. 2013 год |
