>>Геометрия: Сумма углов треугольника. Полные уроки
ТЕМА УРОКА: Сумма углов треугольника.
Цели урока:
- Закрепление и проверка знаний учащихся по теме: «Сумма углов треугольника»;
- Доказательство свойства углов треугольника;
- Применение этого свойства при решении простейших задач;
- Использование исторического материала для развития познавательной активности учащихся;
- Привитие навыка аккуратности при построении чертежей.
Задачи урока:
- Проверить умение учащихся решать задачи.
План урока:
- Треугольник;
- Теорема о сумме углов треугольника;
- Пример задач.
Треугольник.
Файл:O.gif Треугольник
- простейший многоугольник, имеющий 3 вершины (угла) и 3 стороны; часть плоскости, ограниченная тремя точками, и тремя отрезками, попарно соединяющими эти точки.
Трём точкам пространства, не лежащим на одной прямой, соответствует одна и только одна плоскость.
Любой многоугольник можно разбить на треугольники - этот процесс называется триангуляция
.
Существует раздел математики, целиком посвящённый изучению закономерностей треугольников - Тригонометрия
.
Теорема о сумме углов треугольника.
Файл:T.gif Теорема о сумме углов треугольника - классическая теорема евклидовой геометрии, утверждает что cумма углов треугольника равна 180°.
Доказательство":
Пусть дан Δ ABC. Проведем через вершину B прямую, параллельную (AC) и отметим на ней точку D так, чтобы точки A и D лежали по разные стороны от прямой BC. Тогда угол (DBC) и угол (ACB) равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых BD и AC и секущей (BC). Тогда сумма углов треугольника при вершинах B и C равна углу (ABD). Но угол (ABD) и угол (BAC) при вершине A треугольника ABC являются внутренними односторонними при параллельных прямых BD и AC и секущей (AB), и их сумма равна 180°. Следовательно, сумма углов треугольника равна 180°. Теорема доказана.
Следствия.
Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.
Доказательство:
Пусть дан Δ ABC. Точка D лежит на прямой AC так, что A лежит между C и D. Тогда BAD – внешний к углу треугольника при вершине A и A + BAD = 180°. Но A + B + C = 180°, и, следовательно, B + C = 180° – A. Отсюда BAD = B + C. Следствие доказано.
Следствия.
Внешний угол треугольника больше любого угла треугольника, не смежного с ним.
Задача.
Внешним углом треугольника называется угол, смежный с каким-нибудь углом этого треугольника. Докажите, что внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.
(Рис.1)
Решение:
Пусть в Δ АВС ∠DАС – внешний (Рис.1). Тогда ∠DАС=180°-∠ВАС (по свойству смежных углов), по теореме о сумме углов треугольника ∠В+∠С =180°-∠ВАС. Из этих равенств получим ∠DАС=∠В+∠С
Интересный факт:
Сумма углов треугольника":
В геометрии Лобачевского сумма углов треугольника всегда меньше 180. В геометрии Эвклида она всегда равна 180 . В геометрии Римана сумма углов треугольника всегда больше 180.
Из истории математики:
Евклид (III в до н.э) в труде «Начала» приводит такое определение: «Параллельные суть прямые, которые находятся в одной плоскости и, будучи продолжены в обе стороны неограниченно, ни с той, ни с другой стороны между собой не встречаются».
Посидоний (I в до н.э) «Две прямые, лежащие в одной плоскости, равноотстоящие друг от друга»
Древнегреческий учёный Папп (III в до н.э) ввёл символ параллельных прямых- знак =. Впоследствии английский экономист Рикардо (1720-1823) этот символ использовал как знак равенства.
Только в XVIII веке стали использовать символ параллельности прямых - знак ||.
Ни на миг не прерывается живая связь между поколениями, ежедневно мы усваиваем опыт, накопленный нашими предками. Древние греки на основе наблюдений и из практического опыта делали выводы, высказывали гипотезы, а затем, на встречах учёных – симпозиумах (буквально « пиршество») – эти гипотезы пытались обосновать и доказать. В то время и сложилось утверждение: « В споре рождается истина».
Вопросы:
- Что такое треугольник?
- Что гласит теорема о сумме углов треугольника?
- Чему равен внешний угол треугольника?
“Скажи мне – и я забуду,
Покажи мне – и я запомню,
Вовлеки меня – и я научусь”
Восточная пословица
Цель: Доказать теорему о сумме углов треугольника, упражнять в решении задач, используя данную теорему, развивать познавательную деятельность учащихся, используя дополнительный материал из разных источников, воспитывать умение слушать других.
Оборудование: Транспортир, линейка, модели треугольников, полоска настроения.
ХОД УРОКА
Отметьте на ленте настроения свое состояние на начало урока.
2. Повторение.
Повторить понятия, которые будут использованы при доказательстве теоремы: свойства углов при параллельных прямых, определение развернутого угла, градусная мера развернутого угла.
3. Новый материал.
3.1. Практическая работа.
У каждого ученика находятся три модели треугольника: остроугольный, прямоугольный и тупоугольный. Предлагается измерить углы треугольника и найти их сумму. Проанализировать результат. Могут получиться значения 177, 178, 179, 180, 181, 182, 183 градуса. Посчитайте среднее арифметическое (=180°) Предлагается вспомнить, когда углы имеют градусную меру 180 градусов. Ученики вспоминают, что это развернутый угол и сумма односторонних углов.
Давайте попробуем получить сумму углов треугольника используя оригами.
Историческая справка
Оригами (яп., букв.: “сложенная бумага”) - древнее искусство складывания фигурок из бумаги. Искусство оригами своими корнями уходит в древний Китай, где и была открыта бумага.
3.2. Доказательство теоремы из учебника Атанасяна Л.С.
Теорема о сумме углов треугольника.
Докажем одну из важнейших теорем геометрии – теорему о сумме углов треугольника.
Теорема. Сумма углов треугольника равна 180°.
Доказательство. Рассмотрим произвольный треугольник ABC и докажем, что A + B + C= 180°.
Проведем через вершину В прямую а, параллельную стороне АС. Углы 1 и 4 являются накрест лежащими углами при пересечении параллельных прямых а и АС секущей АВ, а углы 3 и 5 - накрест лежащими углами при пересечении тех же параллельных прямых секущей ВС. Поэтому угол 4 равен углу 1, угол 5 равен углу 3.
Очевидно, сумма углов 4, 2 и 5 равна развернутому углу с вершиной В, т. е. угол 4+угол 2+угол 5=180°. Отсюда, учитывая предыдущие равенства, получаем: угол 1 + угол 2+ угол 3= 180°, или A + B+ C=180°. Теорема доказана.
3.3. Доказательство теоремы из учебника Погорелова А. В.
Доказать: A + B + C = 180 °
Доказательство:
1. Проведем через вершину B прямую BD // AC
2. DBC=ACB, как накрест лежащие при AC//BD и секущей BC.
3. ABD =ACB +CBD
Отсюда, A + B+C = ABD+BAC
4. ABD и BAC – односторонние при BD // AC и секущей AB, значит их сумма равна 180 ° , т.е. А+B + C=180 ° , что и требовалось доказать.
3. 4. Доказательство теоремы из учебника Киселева А.Н., Рыбкина Н.А.
Дано: АВС
Доказать: А+B +C=180 °
Доказательство:
1. Продолжим сторону АС. Проведем СЕ//АВ
2. А=ЕСД, как соответственные при АВ//СЕ и АД - секущей
3. В=ВСЕ, как накрест лежащие при АВ//СЕ и ВС - секущей.
4. ЕСД+ВСЕ+С=180 ° , значит А + В + С = 180 ° , что и требовалось доказать.
3.5. Следствия 1. В любом треугольнике все углы острые, либо два угла острых, а третий тупой или прямой.
Следствие 2.
Внешний угол треугольника равен сумме двух других углов треугольника, не смежных с ним.
3.6. Теорема позволяет классифицировать треугольники не только по сторонам, но и по углам.
Вид треугольника | Равнобедренный | Равносторонний | Разносторонний |
прямоугольный | |||
тупоугольный | |||
остроугольный |
4. Закрепление.
4.1. Решение задач по готовым чертежам.
Найти неизвестные углы треугольника.
4.2. Проверка знаний.
1. В завершении нашего урока, ответьте на вопросы:
Существуют ли треугольники с углами:
а) 30, 60, 90 градусов,
b) 46, 4, 140 градусов,
с) 56, 46, 72 градуса?
2. Может ли в треугольнике быть:
а) два тупых угла,
b) тупой и прямой углы,
с) два прямых угла?
3. Определить вид треугольника, если один угол – 45 градусов, другой – 90 градусов.
4. В каком треугольнике сумма углов больше: в остроугольном, тупоугольном или прямоугольном?
5. Можно ли измерить углы любого треугольника?
Это вопрос-шутка, т.к. существует Бермудский треугольник, находящийся в Атлантическом океане между Бермудскими островами, государством Пуэрто-Рико и полуостровом Флорида, у которого невозможно измерить углы. (Приложение 1)
5. Итог урока.
Отметьте на ленте настроения свое состояние на конец урока.
Домашнее задание.
П. 30–31; № 223 а, б; № 227 а; рабочая тетрадь № 116, 118.
. (Слайд 1)
Тип урока: урок изучения нового материала.
Цели урока:
- Образовательные
:
- рассмотреть теорему о сумме углов треугольника,
- показать применение теоремы при решении задач.
- Воспитательные
:
- воспитание положительного отношения учащихся к знаниям,
- воспитывать в учащихся средствами урока уверенность в своих силах.
- Развивающие
:
- развитие аналитического мышления,
- развитие «умений учиться»: использовать знания, умения и навыки в учебном процессе,
- развитие логического мышления, способности четко формулировать свои мысли.
Оборудование: интерактивная доска, презентация, карточки.
ХОД УРОКА
I. Организационный момент
– Сегодня на уроке мы вспомним определения прямоугольного, равнобедренного, равностороннего треугольников. Повторим свойства углов треугольников. Применяя свойства внутренних односторонних и внутренних накрест лежащих углов докажем теорему о сумме углов треугольника и научимся применять ее при решении задач.
II. Устно (Слайд 2)
1) Найти на рисунках прямоугольный,
равнобедренный, равносторонний треугольники.
2) Дать определение этим треугольникам.
3) Сформулировать свойства углов равностороннего
и равнобедренного треугольника.
4) На рисунке KE II NH. (слайд 3)
– Укажите секущие для этих прямых
– Найти внутренние односторонние углы,
внутренние накрест лежащие углы, назвать их
свойства
III. Объяснение нового материала
Теорема. Сумма углов треугольника равна 180 о
По формулировке теоремы, ребята строят чертеж, записывают условие, заключение. Отвечая на вопросы, самостоятельно доказывают теорему.
Дано: Доказать: |
Доказательство:
1. Через вершину В треугольника проведем прямую
BD II AC.
2. Указать секущие для параллельных прямых.
3. Что можно сказать об углах CBD и ACB? (сделать
запись)
4. Что мы знаем об углах CAB и ABD? (сделать запись)
5. Заменим угол CBD углом ACB
6. Сделать вывод.
IV. Закончи предложение. (Слайд 4)
1. Сумма углов треугольника равна …
2. В треугольнике один из углов равен, другой,
третий угол треугольника равен …
3. Сумма острых углов прямоугольного
треугольника равна …
4. Углы равнобедренного прямоугольного
треугольника равны …
5. Углы равностороннего треугольника равны...
6. Если угол между боковыми сторонами
равнобедренного треугольника равен 1000, то углы
при основании равны …
V. Немного истории. (Слайды 5-7)
Доказательство теоремы о сумме углов
треугольника «Сумма внутренних углов треугольника равна двум прямым» приписывают Пифагору (580-500 г.г. до н.э.) |
|
Древнегреческий ученый Прокл (410-485 г.г. н.э.), |
Теорема. Сумма внутренних углов треугольника равна двум прямым углам.
Возьмём какой-нибудь треугольник AВС (рис. 208). Обозначим его внутренние углы цифрами 1, 2 и 3. Докажем, что
∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°.
Проведём через какую-нибудь вершину треугольника, например В, прямую МN параллельно АС.
При вершине В мы получили три угла: ∠4, ∠2 и ∠5. Их сумма составляет развёрнутый угол, следовательно, она равна 180°:
∠4 + ∠2 + ∠5 = 180°.
Но ∠4 = ∠1 - это внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых МN и АС и секущей АВ.
∠5 = ∠3 - это внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых МN и АС и секущей ВС.
Значит, ∠4 и ∠5 можно заменить равными им ∠1 и ∠3.
Следовательно, ∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°. Теорема доказана.
2. Свойство внешнего угла треугольника.
Теорема. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.В самом деле, в треугольнике ABC (рис. 209) ∠1 + ∠2 = 180° - ∠3, но и ∠ВСD, внешний угол этого треугольника, не смежный с ∠1 и ∠2, также равен 180° - ∠3.
Таким образом:
∠1 + ∠2 = 180° - ∠3;
∠BCD = 180° - ∠3.
Следовательно, ∠1 + ∠2= ∠BCD.
Выведенное свойство внешнего угла треугольника уточняет содержание ранее доказанной теоремы о внешнем угле треугольника, в которой утверждалось только, что внешний угол треугольника больше каждого внутреннего угла треугольника, не смежного с ним; теперь же устанавливается, что внешний угол равен сумме обоих внутренних углов, не смежных с ним.
3. Свойство прямоугольного треугольника с углом в 30°.
Теорема. Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.Пусть в прямоугольном треугольнике АСВ угол В равен 30° (рис. 210). Тогда другой его острый угол будет равен 60°.
Докажем, что катет АС равен половине гипотенузы АВ. Продолжим катет АС за вершину прямого угла С и отложим отрезок СМ, равный отрезку АС. Точку М соединим с точкой В. Полученный треугольник ВСМ равен треугольнику АСВ. Мы видим, что каждый угол треугольника АВМ равен 60°, следовательно, этот треугольник - равносторонний.
Катет АС равен половине АМ, а так как АМ равняется АВ, то катет АС будет равен половине гипотенузы АВ.
Предварительные сведения
Вначале рассмотрим непосредственно понятие треугольника.
Определение 1
Треугольником будем называть геометрическую фигуру, которая составлена из трех точек, соединенных между собой отрезками (рис. 1).
Определение 2
Точки в рамках определения 1 будем называть вершинами треугольника.
Определение 3
Отрезки в рамках определения 1 будем называть сторонами треугольника.
Очевидно, что любой треугольник будет иметь 3 вершин, а также три стороны.
Теорема о сумме углов в треугольнике
Введем и докажем одну из основных теорем, связанную с треугольников, а именно теорему о сумме углов в треугольнике.
Теорема 1
Сумма углов в любом произвольном треугольнике равняется $180^\circ$.
Доказательство.
Рассмотрим треугольник $EGF$. Докажем, что сумма углов в этом треугольнике равняется $180^\circ$. Сделаем дополнительное построение: проведем прямую $XY||EG$ (рис. 2)
Так как прямые $XY$ и $EG$ параллельны, то $∠E=∠XFE$ как накрест лежащие при секущей $FE$, а $∠G=∠YFG$ как накрест лежащие при секущей $FG$
Угол $XFY$ будет развернутым, следовательно, равняется $180^\circ$.
$∠XFY=∠XFE+∠F+∠YFG=180^\circ$
Следовательно
$∠E+∠F+∠G=180^\circ$
Теорема доказана.
Теорема о внешнем угле треугольника
Еще одной теоремой о сумме углов для треугольника можно считать теорему о внешнем угле. Для начала введем это понятие.
Определение 4
Внешним углом треугольника будем называть такой угол, который будет смежным с каким-либо углом треугольника (рис. 3).
Рассмотрим теперь непосредственно теорему.
Теорема 2
Внешний угол треугольника равняется сумме двух углов треугольника, которые не являются смежным для него.
Доказательство.
Рассмотрим произвольный треугольник $EFG$. Пусть он имеет внешний угол треугольника $FGQ$ (рис. 3).
По теореме 1 ,будем иметь, что $∠E+∠F+∠G=180^\circ$, следовательно,
$∠G=180^\circ-(∠E+∠F)$
Так как угол $FGQ$ внешний, то он смежен с углом $∠G$, тогда
$∠FGQ=180^\circ-∠G=180^\circ-180^\circ+(∠E+∠F)=∠E+∠F$
Теорема доказана.
Пример задач
Пример 1
Найти все углы треугольника, если он является равносторонним.
Так как у равностороннего треугольника все стороны равны, то будем иметь, что и все углы в нем также равны между собой. Обозначим их градусные меры через $α$.
Тогда, по теореме 1 будем получать
$α+α+α=180^\circ$
Ответ: все углы равняются по $60^\circ$.
Пример 2
Найти все углы равнобедренного треугольника, если один его угол равняется $100^\circ$.
Введем следующие обозначения углов в равнобедренном треугольнике:
Так как нам не дано в условии, какой именно угол равняется $100^\circ$, то возможны два случая:
Угол, равный $100^\circ$ - угол при основании треугольника.
По теореме об углах при основании равнобедренного треугольника получим
$∠2=∠3=100^\circ$
Но тогда только их сумма будет больше, чем $180^\circ$, что противоречит условию теоремы 1. Значит, этот случай не имеет места.
Угол, равный $100^\circ$ - угол между равными сторонами, то есть