Движение тела по окружности является частным случаем криволинейного движения. Наряду с вектором перемещения удобно рассматривать угловое перемещение Δφ (или угол поворота ), измеряемое в радианах (рис. 1.6.1). Длина дуги связана с углом поворота соотношением

При малых углах поворота Δl ≈ Δs .

Угловой скоростью ω тела в данной точке круговой траектории называют предел (при Δt →0) отношения малого углового перемещения Δφ к малому промежутку времени Δt :

Угловая скорость измеряется в рад/с .

Связь между модулем линейной скорости υ и угловой скоростью ω:

При равномерном движении тела по окружности величины υ и ω остаются неизменными. В этом случае при движении изменяется только направление вектора

Равномерное движение тела по окружности является движением с ускорением. Ускорение

направлено по радиусу к центру окружности. Его называют нормальным или центростремительным ускорением . Модуль центростремительного ускорения связан с линейной υ и угловой ω скоростями соотношениями:

Для доказательства этого выражения рассмотрим изменение вектора скорости за малый промежуток времени Δt . По определению ускорения

Векторы скоростей и в точках A и B направлены по касательным к окружности в этих точках. Модули скоростей одинаковы υA =υB = υ.

Из подобия треугольников OAB и BCD (рис. 1.6.2) следует:

При малых значениях угла Δφ = ωΔt расстояние |AB | =Δs ≈ υΔt . Так как |OA | = R и |CD | = Δυ, из подобия треугольников на рис. 1.6.2 получаем:

При малых углах Δφ направление вектора приближается к направлению на центр окружности. Следовательно, переходя к пределу при Δt →0, получаем:

При изменении положения тела на окружности изменяется направление на центр окружности. При равномерном движении тела по окружности модуль ускорения остается неизменным, но направление вектора ускорения изменяется со временем. Вектор ускорения в любой точке окружности направлен к ее центру. Поэтому ускорение при равномерном движении тела по окружности называется центростремительным.

В векторной форме центростремительное ускорение может быть записано в виде

где - радиус-вектор точки на окружности, начало которого находится в ее центре.

Если тело движется по окружности неравномерно, то появляется также касательная (или тангенциальная ) составляющая ускорения (см 1.1):

В этой формуле Δυ τ = υ 2 - υ 1 - изменение модуля скорости за промежуток времени Δt .

Направление вектора полного ускорения определяется в каждой точке круговой траектории величинами нормального и касательного ускорений (рис. 1.6.3).

Движение по окружности.

1.Равномерное движение по окружности

2.Угловая скорость вращательного движения.

3.Период вращения.

4.Частота вращения.

5.Связь линейной скорости с угловой.

6.Центростремительное ускорение.

7.Равнопеременное движение по окружности.

8.Угловое ускорение в равнопеременном движении по окружности.

9.Тангенциальное ускорение.

10.Закон равноускоренного движения по окружности.

11. Средняя угловая скорость в равноускоренном движении по окружности.

12.Формулы, устанавливающие связь между угловой скоростью, угловым ускорением и углом поворота в равноускоренном движении по окружности.

1.Равномерное движение по окружности – движение, при котором материальная точка за равные интервалы времени проходит равные отрезки дуги окружности, т.е. точка движется по окружности с постоянной по модулю скоростью. В этом случае скорость равна отношению дуги окружности, пройденной точкой ко времени движения, т.е.

и называется линейной скоростью движения по окружности.

Как и в криволинейном движении вектор скорости направлен по касательной к окружности в направлении движения (Рис.25).

2. Угловая скорость в равномерном движении по окружности – отношение угла поворота радиуса ко времени поворота:

В равномерном движении по окружности угловая скорость постоянна. В системе СИ угловая скорость измеряется в(рад/c). Один радиан – рад это центральный угол, стягивающий дугу окружности длиной равной радиусу. Полный угол содержит радиан, т.е. за один оборот радиус поворачивается на угол радиан.

3. Период вращения – интервал времени Т, в течении которого материальная точка совершает один полный оборот. В системе СИ период измеряется в секундах.

4. Частота вращения – число оборотов , совершаемых за одну секунду. В системе СИ частота измеряется в герцах (1Гц = 1 ) . Один герц – частота, при которой за одну секунду совершается один оборот. Легко сообразить, что

Если за время t точка совершает n оборотов по окружности то .

Зная период и частоту вращения, угловую скорость можно вычислять по формуле:

5 Связь линейной скорости с угловой . Длина дуги окружности равна где центральный угол, выраженный в радианах, стягивающий дугу радиус окружности. Теперь линейную скорость запишем в виде

Часто бывает удобно использовать формулы: или Угловую скорость часто называют циклической частотой, а частоту линейной частотой.

6. Центростремительное ускорение . В равномерном движении по окружности модуль скорости остаётся неизменным , а направление её непрерывно меняется (Рис.26). Это значит, что тело, движущееся равномерно по окружности, испытывает ускорение, которое направлено к центру и называется центростремительным ускорением.

Пусть за промежуток времени прошло путь равный дуге окружности . Перенесём вектор , оставляя его параллельным самому себе, так чтобы его начало совпало с началом вектора в точке В. Модуль изменения скорости равен , а модуль центростремительного ускорения равен

На Рис.26 треугольники АОВ и ДВС равнобедренные и углы при вершинах О и В равны, как углы с взаимно перпендикулярными сторонами АО и ОВ Это значит, что треугольники АОВ и ДВС подобные. Следовательно Если то есть интервал времени принимает сколь угодно малые значения, то дугу можно приближенно считать равной хорде АВ, т.е. . Поэтому можем записать Учитывая, что ВД= , ОА=R получим Умножая обе части последнего равенства на , получим и далее выражение для модуля центростремительного ускорения в равномерном движении по окружности: . Учитывая, что получим две часто применяемые формулы:

Итак, в равномерном движении по окружности центростремительное ускорение постоянно по модулю.

Легко сообразить, что в пределе при , угол . Это значит, что углы при основании ДС треугольника ДВС стремятся значению , а вектор изменения скорости становится перпендикулярным к вектору скорости , т.е. направлен по радиусу к центру окружности.

7. Равнопеременное движение по окружности – движение по окружности, при котором за равные интервалы времени угловая скорость изменяется на одну и ту же величину.

8. Угловое ускорение в равнопеременном движении по окружности – отношение изменения угловой скорости к интервалу времени , в течении которого это изменение произошло, т.е.

где начальное значение угловой скорости, конечное значение угловой скорости, угловое ускорение, в системе СИ измеряется в . Из последнего равенства получим формулы для вычисления угловой скорости

И , если .

Умножая обе части этих равенств на и учитывая, что , - тангенциальное ускорение, т.е. ускорение, направленное по касательной к окружности, получим формулы для вычисления линейной скорости:

И , если .

9. Тангенциальное ускорение численно равно изменению скорости в единицу времени и направлено вдоль касательной к окружности. Если >0, >0, то движение равноускоренное. Если <0 и <0 – движение.

10. Закон равноускоренного движения по окружности . Путь, пройденный по окружности за время в равноускоренном движении, вычисляется по формуле:

Подставляя сюда , , сокращая на , получим закон равноускоренного движения по окружности:

Или , если .

Если же движение равнозамедленное, т.е. <0, то

11.Полное ускорение в равноускоренном движении по окружности . В равноускоренном движении по окружности центростремительное ускорение с течением времени возрастает, т.к. благодаря тангенциальному ускорению возрастает линейная скорость. Очень часто центростремительное ускорение называют нормальным и обозначают как . Так как полное ускорение в данный момент определяют по теореме Пифагора (Рис.27).

12. Средняя угловая скорость в равноускоренном движении по окружности . Средняя линейная скорость в равноускоренном движении по окружности равна . Подставляя сюда и и сокращая на получим

Если , то .

12. Формулы, устанавливающие связь между угловой скоростью, угловым ускорением и углом поворота в равноускоренном движении по окружности .

Подставляя в формулу величины , , , ,

и сокращая на , получим

Лекция- 4. Динамика.

1. Динамика

2. Взаимодействие тел.

3. Инерция. Принцип инерции.

4. Первый закон Ньютона.

5. Свободная материальная точка.

6. Инерциальная система отсчета.

7. Неинерциальная система отсчета.

8. Принцип относительности Галилея.

9. Преобразования Галилея.

11. Сложение сил.

13. Плотность веществ.

14. Центр масс.

15. Второй закон Ньютона.

16. Единица измерения силы.

17. Третий закон Ньютона

1. Динамика есть раздел механики, изучающий механическое движение, в зависимости от сил, вызывающих изменение этого движения.

2.Взаимодействия тел . Тела могут взаимодествовать, как при непосредственном соприкосновенном соприкосновении, так и на расстоянии посредством особого вида материи, называемого физическим полем.

Например, все тела притягиваются друг к другу и это притяжение осуществляется посредством гравитационного поля, а силы притяжения называются гравитационными.

Тела, несущие в себе электрический заряд, взаимодействуют посредством электрического поля. Электрические токи взаимодействуют посредством магнитного поля. Эти силы называют электромагнитными.

Элементарные частицы взаимодействуют посредсвом ядерных полей и эти силы называют ядерными.

3.Инерция . В IV в. до н. э. греческий философ Аристотель утверждал, что причиной движения тела является сила, действующая со стороны другого тела или тел. При этом, по движения мнению Аристотеля постоянная сила сообщает телу постоянную скорость и с прекращением действия силы прекращается движение.

В 16 в. итальянский физик Галилео Галилей, проводя опыты с телами, скатывающимися по наклонной плоскости и с падающими телами показал, что постоянная сила (в данном случае вес тела) сообщает телу ускорение.

Итак, на основе экспериментов Галилей показал, что сила причина ускорения тел. Приведем рассуждения Галилея. Пусть очень гладкий шар катится по гладкой горизонтальной плоскости. Если шару ничего не мешает, то он может катиться сколь угодно долго. Если же на пути шара насыпать тонкий слой песка, то он очень скоро остановится, т.к. на него подействовала сила трения песка.

Так Галилей пришел к формулировке принципа инерции, согласно которому материальное тело сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения, если на не действуют внешние силы. Часто это свойство материи называют инерцией, а движение тела без внешних воздействий- движением по инерции.

4. Первый закон Ньютона . В 1687 году на основе принципа инерции Галилея Ньютон сформулировал первый закон динамики – первый закон Ньютона:

Материальная точка (тело) находится в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения, если на неё не действуют другие тела, либо силы, действующие со стороны других тел, уравновешены, т.е. скомпенсированы.

5.Свободная материальная точка – материальная точка, на которую не действуют другие тела. Иногда говорят – изолированная материальная точка.

6. Инерциальная система отсчета (ИСО) – система отсчёта, относительно которой изолированная материальная точка движется прямолинейно и равномерно, либо находится в состоянии покоя.

Любая система отсчёта, которая движется равномерно и прямолинейно относительно ИСО является инерциальной,

Приведём ещё одну формулировку первого закона Ньютона: Существуют системы отсчёта, относительно которых свободная материальная точка движется прямолинейно и равномерно, либо находится в состоянии покоя. Такие системы отсчёта называются инерциальными. Часто первый закон Ньютона называют законом инерции.

Первому закону Ньютона можно дать ещё и такую формулировку: всякое материальное тело сопротивляется изменению его скорости. Это свойство материи называется инертностью.

С проявлением этого закона мы сталкиваемся ежедневно в городском транспорте. Когда автобус резко набирает скорость, нас прижимает к спинке сидения. Когда же автобус тормозит, то наше тело заносит по ходу движения автобуса.

7. Неинерциальная система отсчёта – система отсчёта, которая движется неравномерно относительно ИСО.

Тело, которое относительно ИСО находится в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения. Относительно неинерциальной системы отсчёта движется неравномерно.

Любая вращающаяся система отсчёта есть неинерциальная система отсчёта, т.к. в этой системе тело испытывает центростремительное ускорение.

В природе и технике нет тел, которые могли бы служить в качестве ИСО. Например, Земля вращается вокруг своей оси и любое тело на её поверхности испытывает центростремительное ускорение. Однако в течение достаточно коротких промежутков времени систему отсчёта, связанную с поверхностью Земли в некотором приближении можно считать ИСО.

8.Принцип относительности Галилея. ИСО может быть соль угодно много. Поэтому возникает вопрос: как выглядят одни и те же механические явления в разных ИСО? Можно ли используя механические явления, обнаружить движение ИСО, в которой они наблюдаются.

Ответ на эти вопросы дает принцип относительности классической механики, открытый Галилеем.

Смысл принципа относительности классической механики заключается в утверждении: все механические явления протекают совершенно одинаково во всех инерциальных системах отсчёта.

Этот принцип можно сформулировать и так: все законы классической механики выражаются одинаковыми математическими формулами. Иными словами никакие механические опыты не помогут нам обнаружить движение ИСО. Это значит, что попытка обнаружить движение ИСО лишена смысла.

С проявлением принципа относительности мы сталкивались, путишествуя в поездах. В момент, когда наш поезд стоит на станции, а поезд, стоявший на соседнем пути, медленно начинает движение, то в первые мгновения нам кажется, движется наш поезд. Но бывает и наоборот, когда наш поезд плавно набирает ход, нам кажется, что движение начал соседний поезд.

В приведённом примере принцип относительности проявляется в течение малых интервалов времени. С увеличением скорости мы начинаем ощущать толчки раскачивание вагона, т. е. наша система отсчёта становится неинерциальной.

Итак, попытка обнаружить движение ИСО лишена смысла. Следовательно, абсолютно безразлично, какую ИСО считать неподвижной, а какую – движущейся.

9. Преобразования Галилея . Пусть две ИСО и движутся друг относительно друга со скоростью . Согласно с принципом относительности мы можем положить, что ИСО К неподвижна, а ИСО движется относительно со скоростью . Для простоты положим, что соответствующие оси координат систем и параллельны, а оси и совпадают. Пусть в момент начала систем совпадают и движение происходит вдоль осей и , т.е. (Рис.28)

Закон. Все движения происходят одинаково в покоящихся системах отсчета, или движущихся относительно друг друга с постоянной скоростью. Это принцип одинаковости или равнозначности инерциальных систем отсчета или принцип независимости Галилея.

Общие законы движения

1 Закон. Если на тело не действуют другие тела, оно сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения. Это закон инерции, первый закон Ньютона.

3 Закон. Все движения материального тела происходят независимо друг от друга и складываются как векторные величины. Так любое тело на земле одновременно участвует в движении Солнца с планетами вокруг Центра Галактики со скоростью около 200 км./сек, в движении Земли по орбите со скоростью около 30 км/сек, во вращении Земли вокруг своей оси со скоростью до 400 м /сек и возможно в других движениях. Получается весьма замысловатая криволинейная траектория!

Если тело брошено с начальной скоростью Vo, под углом a к горизонту то дальность полета –S вычисляется по формуле:

S = 2 V*SIN(a) * COS(a) / g = V*SIN(2a) / g

Максимальная дальность при a =45 градусов. Максимальная высота полета –h вычисляется по формуле:

h = V* SIN(a)/2g

Обе эти формулыможно получить, если учесть, что вертикальная составляющая Vo*SIN(a), а горизонтальная Vo* COS(a), V =g*t, t =V/g.

Cделаем подстановку в основную формулу для высоты

h = g t/2 = g* (V/g)/2 = V/2g = V* SIN(a)/2g.

Это и есть нужная формула. Максимальная высота при бросании вертикально вверх, при этом

a =90 градусов, SIN(a) =1; h = V*/2g

Для вывода формулы дальности полета нужно горизонтальную составляющую умножить на удвоенное время падения с высоты h. Если учитывать сопротивление воздуха, то путь будет короче. Для снаряда, например, почти вдвое. Одной и той же дальности будут соответствовать два разных угла бросания.

Рис.11 Траектории полета тела брошенного под углом к горизонту. Рисунок справа движение по окружности.

w- Угловая скорость вращающегося тела; радиан / сек

b -Угловое положение вращающегося тела; радианы или градусы относительно оси. Радиан это угол под которым видна из центра окружности дуга равная радиусу окружности, соответственно рад=360/6,28 = 57,32 градусов

а-угловое ускорение измеряется в рад/сек 2

b = bо + w * t, Угловое перемещение отbо.

S = b *R - Линейное преремещение по окружности радиусаR.

w =(b - bо)/(t –to); - Угловая скорость. V = w* R – Скорость по окружности

T = 2*p/w =2*p*R/V Отсюда V = 2*p*R/T

a =ao + w/t – Угловое ускорение. Угловое ускорение определяется тагенциальной силой и при ее отсутствии будет равномерное движение тела по окружности. При этом на тело действует центростремительное ускорение, которое в течение оборота изменяет скорость в 2*p раз. Его величина определиться формулой. a =DV/T =2*p*V/2*p*R/V =V/R

Средние величины скорости и ускорения не позволяют рассчитать положение тела при неравномерном движении. Для этого необходимо знать значения скорости и ускорения в короткие промежутки времени или мгновенные значения. Мгновенные значения определяются через производные или дифференциалы.

1. Достаточно часто можно наблюдать такое движение тела, при котором его траекторией является окружность. По окружности движется, например, точка обода колеса при его вращении, точки вращающихся деталей станков, конец стрелки часов, ребенок, сидящий на какой‑либо фигуре вращающихся каруселей.

При движении по окружности может изменяться не только направление скорости тела, но и ее модуль. Возможно движение, при котором изменяется только направление скорости, а ее модуль остается постоянным. Такое движение называют равномерным движением тела по окружности . Введем характеристики этого движения.

2. Движение тела по окружности повторяется через определенные промежутки времени, равные периоду обращения.

Периодом обращения называют время, в течение которого тело совершает один полный оборот.

Период обращения обозначают буквой T . За единицу периода обращения в СИ принята секунда (1 с ).

Если за время t тело совершило N полных оборотов, то период обращения равен:

T = .

Частотой обращения называют число полных оборотов тела за одну секунду.

Частоту обращения обозначают буквой n .

n = .

За единицу частоты обращения в СИ принята секунда в минус первой степени (1 с– 1 ).

Частота и период обращения связаны следующим образом:

n = .

3. Рассмотрим величину, характеризующую положение тела на окружности. Пусть в начальный момент времени тело находилось в точке A , а за время t оно переместилось в точку B (рис. 38).

Проведем радиус‑вектор из центра окружности в точку A и радиус‑вектор из центра окружности в точку B . При движении тела по окружности радиус‑вектор повернется за время t на угол j. Зная угол поворота радиуса‑вектора, можно определить положение тела на окружности.

Единица угла поворота радиуса‑вектора в СИ - радиан (1 рад ).

При одном и том же угле поворота радиуса‑вектора точки A и B , находящиеся на разных расстояниях от его центра равномерно вращающегося диска (рис. 39), пройдут разные пути.

4. При движении тела по окружности мгновенную скорость называют линейной скоростью .

Линейная скорость тела, равномерно движущегося по окружности, оставаясь постоянной по модулю, меняется по направлению и в любой точке направлена по касательной к траектории.

Модуль линейной скорости можно определить по формуле:

v = .

Пусть тело, двигаясь по окружности радиусом R , совершило один полный оборот, Тогда пройденный им путь равен длине окружности: l = 2pR , а время равно периоду обращения T . Следовательно, линейная скорость тела:

v = .

Поскольку T = , то можно записать

v = 2pRn .

Быстроту обращения тела характеризуют угловой скоростью .

Угловой скоростью называют физическую величину, равную отношению угла поворота радиуса-вектора к промежутку времени, за которое этот поворот произошел.

Угловая скорость обозначается буквой w.

w = .

За единицу угловой скорости в СИ принимают радиан в секунду (1 рад/с ):

[w] == 1 рад/с.

За время, равное периоду обращения T , тело совершает полный оборот и угол поворота радиуса-вектора j = 2p. Поэтому угловая скорость тела:

w =или w = 2pn .

Линейная и угловая скорости связаны друг с другом. Запишем отношение линейной скорости к угловой:

== R .

Таким образом,

v = wR .

При одинаковой угловой скорости точек A и B , расположенных на равномерно вращающемся диске (см. рис. 39), линейная скорость точки A больше линейной скорости точки B : v A > v B .

5. При равномерном движении тела по окружности модуль его линейной скорости остается постоянным, а направление скорости меняется. Поскольку скорость - величина векторная, то изменение направления скорости означает, что тело движется по окружности с ускорением.

Выясним, как направлено и чему равно это ускорение.

Напомним, что ускорение тела определяется по формуле:

a == ,

где Dv - вектор изменения скорости тела.

Направление вектора ускорения a совпадает с направлением вектора Dv .

Пусть тело, движущееся по окружности радиусом R , за ма-лый промежуток времени t переместилось из точки A в точку B (рис. 40). Чтобы найти изменение скорости тела Dv , в точку A перенесем параллельно самому себе вектор v и вычтем из него v 0 , что равноценно сложению вектора v с вектором –v 0 . Вектор, направленный от v 0 к v , и есть вектор Dv .

Рассмотрим треугольники AOB и ACD . Оба они равнобедренные (AO = OB и AC = AD, поскольку v 0 = v ) и имеют равные углы: _AOB = _CAD (как углы со взаимно перпендикулярными сторонами: AO B v 0 , OB B v ). Следовательно, эти треугольники подобны и можно записать отношение соответствующих сторон:= .

Поскольку точки A и B расположены близко друг к другу, то хорда AB мала и ее можно заменить дугой. Длина дуги- путь, пройденный телом за время t с постоянной скоростью v : AB = vt .

Кроме того, AO = R , DC = Dv , AD = v . Следовательно,

= ;= ;= a .

Откуда ускорение тела

a = .

Из рисунка 40 видно, что чем меньше хорда AB , тем точнее направление вектора Dv совпадает с радиусом окружности. Следовательно, вектор изменения скорости Dv и вектор ускорения a направлены по радиусу к центру окружности. Поэтому ускорение при равномерном движении тела по окружности называют центростремительным .

Таким образом,

при равномерном движении тела по окружности его ускорение постоянно по модулю и в любой точке направлено по радиусу окружности к ее центру.

Учитывая, что v = wR , можно записать другую формулу центростремительного ускорения:

a = w 2 R .

6. Пример решения задачи

Частота обращения карусели 0,05 с– 1 . Человек, вращающийся на карусели, находится на расстоянии 4 м от оси вращения. Определите центростремительное ускорение человека, период обращения и угловую скорость карусели.

Дано :	Решение
n = 0,05 с– 1 R = 4 м	Центростремительное ускорение равно: a = w2R =(2pn )2R =4p2n 2R . Период обращения: T = . Угловая скорость карусели: w = 2pn .
a ? T ?

a = 4 (3,14) 2 (0,05с– 1) 2 4 м 0,4 м/с 2 ;

T == 20 с;

w = 2 3,14 0,05 с– 1 0,3 рад/с.

Ответ: a 0,4 м/с 2 ; T = 20 с; w 0,3 рад/с.

Вопросы для самопроверки

1. Какое движение называют равномерным движением по окружности?

2. Что называют периодом обращения?

3. Что называют частотой обращения? Как связаны между собой период и частота обращения?

4. Что называют линейной скоростью? Как она направлена?

5. Что называют угловой скоростью? Что является единицей угловой скорости?

6. Как связаны угловая и линейная скорости движения тела?

7. Как направлено центростремительное ускорение? По какой формуле оно рассчитывается?

Задание 9

1. Чему равна линейная скорость точки обода колеса, если радиус колеса 30 см и один оборот она совершает за 2 с? Чему равна угловая скорость колеса?

2. Скорость автомобиля 72 км/ч. Каковы угловая скорость, частота и период обращения колеса автомобиля, если диаметр колеса70 см? Сколько оборотов совершит колесо за 10 мин?

3. Чему равен путь, пройденный концом минутной стрелки будильника за 10 мин, если ее длина 2,4 см?

4. Каково центростремительное ускорение точки обода колеса автомобиля, если диаметр колеса 70 см? Скорость автомобиля 54 км/ч.

5. Точка обода колеса велосипеда совершает один оборот за 2 с. Радиус колеса 35 см. Чему равно центростремительное ускорение точки обода колеса?

Движение тела по окружности с постоянной по модулю скоростью - это движение, при котором тело за любые равные промежутки времени описывает одинаковые дуги.

Положение тела на окружности определяется радиусом-вектором \(~\vec r\), проведенным из центра окружности. Модуль радиуса-вектора равен радиусу окружности R (рис. 1).

За время Δt тело, двигаясь из точки А в точку В , совершает перемещение \(~\Delta \vec r\), равное хорде АВ , и проходит путь, равный длине дуги l .

Радиус-вектор поворачивается на угол Δφ . Угол выражают в радианах.

Скорость \(~\vec \upsilon\) движения тела по траектории (окружности) направлена по касательной к траектории. Она называется линейной скоростью . Модуль линейной скорости равен отношению длины дуги окружности l к промежутку времени Δt за который эта дуга пройдена:

\(~\upsilon = \frac{l}{\Delta t}.\)

Скалярная физическая величина, численно равная отношению угла поворота радиуса-вектора к промежутку времени, за который этот поворот произошел, называется угловой скоростью :

\(~\omega = \frac{\Delta \varphi}{\Delta t}.\)

В СИ единицей угловой скорости является радиан в секунду (рад/с).

При равномерном движении по окружности угловая скорость и модуль линейной скорости - величины постоянные: ω = const; υ = const.

Положение тела можно определить, если известен модуль радиуса-вектора \(~\vec r\) и угол φ , который он составляет с осью Ox (угловая координата). Если в начальный момент времени t 0 = 0 угловая координата равна φ 0 , а в момент времени t она равна φ , то угол поворота Δφ радиуса-вектора за время \(~\Delta t = t - t_0 = t\) равен \(~\Delta \varphi = \varphi - \varphi_0\). Тогда из последней формулы можно получить кинематическое уравнение движения материальной точки по окружности :

\(~\varphi = \varphi_0 + \omega t.\)

Оно позволяет определить положение тела в любой момент времени t . Учитывая, что \(~\Delta \varphi = \frac{l}{R}\), получаем\[~\omega = \frac{l}{R \Delta t} = \frac{\upsilon}{R} \Rightarrow\]

\(~\upsilon = \omega R\) - формула связи между линейной и угловой скоростью.

Промежуток времени Τ , в течение которого тело совершает один полный оборот, называется периодом вращения :

\(~T = \frac{\Delta t}{N},\)

где N - число оборотов, совершенных телом за время Δt .

За время Δt = Τ тело проходит путь \(~l = 2 \pi R\). Следовательно,

\(~\upsilon = \frac{2 \pi R}{T}; \ \omega = \frac{2 \pi}{T} .\)

Величина ν , обратная периоду, показывающая, сколько оборотов совершает тело за единицу времени, называется частотой вращения :

\(~\nu = \frac{1}{T} = \frac{N}{\Delta t}.\)

Следовательно,

\(~\upsilon = 2 \pi \nu R; \ \omega = 2 \pi \nu .\)

Литература

Аксенович Л. А. Физика в средней школе: Теория. Задания. Тесты: Учеб. пособие для учреждений, обеспечивающих получение общ. сред, образования / Л. А. Аксенович, Н.Н.Ракина, К. С. Фарино; Под ред. К. С. Фарино. - Мн.: Адукацыя i выхаванне, 2004. - C. 18-19.