Простой процент – это такой процент при котором его величина начисляется на первоначально вложенную сумму средств. При этом сумма процента, начисленного в предыдущие периоды, не принимается в расчет в процессе последующего наращения.
В случае сложного процента процент начисляется на постоянно нарастающую базу с учетом процентов, начисленных в предыдущие периоды. Он применяются в тех случаях, когда процент по кредитам (депозитам) выплачивается не сразу, а присоединяется к сумме основного долга. Такая процедура носит название капитализации.
Величины (1+n*i) и (1+i) n называются коэффициентами (множителями) наращения простых и сложных процентов соответственно.
Пример. Предположим, что вы положили на банковский счет 1000 руб. (PV) Процентная ставка равна 10% годовых. Необходимо рассчитать сумму, которую вы получите через 5 лет при условии, что не будите изымать проценты.
Рассчитаем будущую стоимость поэтапно. В конце первого года у вас на счете будет сумма равная
FV1= 1000* (1+0.1) = 1100 руб.
Полученная сумма складывается из 1000 рублей, с которых начиналась данная финансовая операция, плюс проценты в размере 100 руб. Будущая стоимость 1000 руб. к концу первого года составила 1100 руб.
Если вы оставите 1100 руб. еще на один год, то по окончании второго года вы будите иметь сумму
FV2= 1100* (1+0.1) = 1210 руб.
Данную сумму можно представить в виде трех составляющих. Исходные деньги – 1000 рублей, проценты за первый год 100 руб. и за второй год – 100 руб. Проценты, начисленные на основную сумму вклада, называются простыми процентами. Третья составляющая равна 10 руб. и представляет проценты, полученные во второй год, которые были начислены на 100 рублей, полученные в виде процентов за первый год. Проценты, начисленные на уже начисленные ранее проценты, называются сложными процентами. Общая сумма процентных начислений 210 руб. состоит из простых процентов (200 руб.) и сложных процентов (10 руб.).
Продолжая представленную цепочку вычислений, мы можем рассчитать сумму на счете через 5 лет.
FV5= 1000* (1+0.1) 5 = 1610.51 руб.
Таким образом, будущая стоимость 1000 руб. через пять лет при ставке ссудного процента 10% годовых составляет 1610.51 руб. Общая сумма процентных начислений за пять лет составляет 610.51 руб., из которых 500 руб. являются простыми процентами и 110.51 – сложными.
Пример. Вам 20 лет и вы решили положить на счет 1000 руб. сроком на 40 лет при ставке 10% годовых. Сколько денег будет на вашем счете, когда вам будет 60 лет, и вы выйдите на пенсию. Сколько из этой суммы составят простые и сложные проценты.
FV = 1000 * (1+0.1) 40 = 45259.26
Полученная сумма складывается из первоначальной суммы равной 1000 руб., простых процентов 1000*0.1*40 = 4000 руб. и сложных процентов, равных 40259.26 руб.
Рассмотрим эффект увеличения процентной ставки до 11%.
FV = 1000 * (1+0.11) 40 = 65000.87 руб.
В данном примере кажущееся незначительным увеличение процентной ставки на 1% привело к получению дополнительной суммы равной 24741.61 руб.
Наряду с задачами наращения по сложному проценту в практике финансовых вычислений имеют место задачи, требующие наращения по простым процентам. В этом случае проценты начисляются только на основную сумму вклада. К ним относятся задачи определения цены краткосрочных финансовых инструментов, а также долгосрочных инструментов, если проценты не присоединяются к основному долгу, а выплачиваются. Формула для определения будущей стоимости денег для данного случая будет иметь вид:
FV = PV * (1+n*i).
В этой формуле мы использовали ранее принятые обозначения.
Пример. Возвратимся к рассмотренному выше примеру. Вам 20 лет и вы решили положить на счет 1000 руб. сроком на 40 лет при ставке 10% годовых. Сколько денег будет на вашем счете, когда вам будет 60 лет, и вы выйдите на пенсию.
FV = 1000 * (1+40*0.1) = 1000+4000 = 5000
Полученная сумма складывается из первоначальной суммы равной 1000 руб. и простых процентов 1000*0.1*40 = 4000 руб.
Процент может определяться не только при расчетах от настоящего к будущему, но и от будущего к настоящему. В этом случае процент представляет собой скидку с некоторой конечной суммы. Например, в банковской практике учета векселей стоимость векселя является конечной суммой, с которой производится скидка по определенной ставке, называемой учетной. Разница между стоимостью векселя и суммой, которую банк выдает по этому векселю, называется дисконтом.
Задачи и решения
1. На депозит на срок два года положены 10000 руб. Какую сумму должен получить вкладчик в конце срока при начислении простых (сложных) процентов по ставке 18% годовых?
Для случая простых процентов получаем:
FV = PV *(1+n*i) = 10000*(1+2*0,18) = 13600 руб.
Для случая сложных процентов:
FV = PV *(1+ i) n = 10000*(1+*0,18) 2 = 13924 руб.
2. Найти период времени в течение которого первоначальная сумма вклада удвоится для случая простой и сложной процентной ставки равной 10%.
Для случая простой ставки
FV = 2*PV = PV *(1+n*i),
n = (2-1)/0,1 =10 лет.
Для случая сложной ставки
FV = 2*PV = PV *(1+i) n
n*Ln(1+0,1) =Ln2,
n= Ln2/ Ln(1+0,1) = 0,69/0,095 = 7,26 года.
1. Найти процентную ставку (простую и сложную) при которой первоначальная сумма вклада удвоится за десять лет.
Для случая простой ставки
FV = PV *(1+n*i),
FV = 2*PV = PV *(1+10*i),
Для случая сложной ставки
FV = 2*PV = PV *(1+i) 10
i = 2 1/10 – 1 = 0,072.
4. На вашем банковском вкладе проценты начисляются на основе «плавающей» ставки, которая изменяется каждый год. Три года назад вы положили на счет 10000 руб., когда процентная ставка была 15%. В прошлом году она упала до 12%, а в этом году установлена на уровне 10%. Какая сумма будет у вас на счете к концу текущего года? Расчеты произвести для случая простых и сложных ставок.
Для случая простой ставки
FV = PV *(1+n 1 *i 1 + n 2 *i 2 + n 3 *i 3) = 10000*(1+1*0,15+1*0,12+1*0,1) = 13700 руб.
Для случая сложных ставок
FV = PV *(1+ i 1) n 1 *(1+ i 2) n 2 *(1+ i 3) n 3 = 10000* *(1+ 0,15) 1 *(1+ 0,12) 1 *(1+ 0,1) 1 = 10000* 1,15*1,12*1,1 = 14168 руб.
5. В банк на срочный сберегательный счет положено 1000 руб. на два года по ставке 9% годовых, с дальнейшей пролонгацией на следующие три года по ставке 6%. Найти наращенную сумму через пять лет при простых и сложных ставках.
Для случая простой ставки
FV = PV *(1+n 1 *i 1 + n 2 *i 2) = 1000*(1+2*0,09+3*0,06) = 1360 руб.
Для случая сложных ставок
FV = PV *(1+ i 1) n 1 *(1+ i 2) n 2 = 1000* *(1+ 0,09) 2 *(1+ 0,06) 3 = 1417 руб.
Открывая банковский вклад нужно обращать внимание не только на размер процентной ставки, но и на вид начисления процентов. Бывает простое начисление процентов и сложное. В этой статье мы разберем разницу между видом начисления процентной ставки, а также определим в чем выгода того или иного способа начисления.
В чем разница между простыми и сложными процентами?
Обычно банки предлагают простое начисление процентов. Что это значит? Это значит, что проценты будут начислены на ваш вклад только в конце срока. Т.е. допустив вы открыли вклад под 10% годовых и вложили 10 000 рублей. Через год вам будет начислено в виде процентов 1 000 рублей. Если вы оставите вклад на второй год, то по истечении этого срока вам будет начислена еще 1 000 рублей.
За 2 года, при простом начислении процентов ваша итоговая сумму составит: 12 000 рублей.
Если бы было сложное начисление процентов, то картина немного меняется. Через 1 год, на вашем счету также было бы 11 000 рублей (10 000 — ваш вклад + 1 000 рублей в виде процентов).
Однако, эта начисленная тысяча, в конце первого периода присоединилась бы к основному телу депозиту. И все проценты уже начислялись бы на эту общую сумму. Т.е. вы на второй год получили бы 10%, только уже не с 10 000 рублей, а с 11 тысяч. В деньгах это получается — 1 100 рублей.
Итого, за 2 года при сложном начислении ваша сумма составит: 12 100 рублей
Думаю, нет смысла объяснять, что вы выберите: 12 000 или 12 100 рублей. К тому же дополнительным преимуществом сложным процентов является тот факт, что они также входят в . Т.е. если у банка отзывают лицензию, то все начисленные проценты также подлежат возврату вкладчику.
При простом начислении, деньги выплачиваются только в конце срока, т.е. по факту они не были начислены, даже если до окончания вашего вклада оставался только один день! И в данном случае вы имеете право на возврат только основного капитала.
Особенно привлекательным становиться вклад с ежемесячной или ежеквартальной капитализацией процентов. Чем ниже период капитализации по вкладу, тем более высокий доход он дает. Дело тут в кумулятивном эффекте. Когда на начисленные проценты в виде прибыли также начисляется прибыль. Иногда сложные проценты называют процентами с учетом реинвестирования или капитализации . Обращайте на это внимание когда заключаете договор с банком. Если в договоре сказано, что проценты начисляются в конце срока вклада, то речь идет о простом начислении процентов.
Банки не очень часто предлагаю . Даже если проценты начисляются ежемесячно или ежеквартально, банки предпочитают не использовать полученную прибыль для начисления на них дополнительных процентов, а перечисляют на отдельный счет. Дело здесь, как было указано выше, в эффекте рефинансирования, когда эффективная процентная ставка за счет капитализации будет выше, первоначально заявленной банком.
Пример. При номинальной ставке в 9% годовых, реальная эффективная ставка с учетом реинвестирования составила бы 9,4% годовых. При 10% этот показатель вырос бы до 10,5%, а при 11% — до 11,6%.
Банки обычно указывают номинальную процентную ставку, поскольку эффективная процентная ставка при условии снятия процентов может и не случиться.
Формула расчета сложного процента по вкладам в банках
Для тех, кто хочет сам понять какую сумму он получит вложив деньги под сложный процент в банке есть специальная формула реинвестирования или капитализации вклада:
S=K * (1+r/t)™
K — это ваша первоначальная сумма, которую вы внесли в банк,
r — годовая процентная ставка, под которую вы положили в банк, например, 10% годовых — это 0,1, 12% годовых — это 0,12
t — количество выплат по процентам в год, например, если проценты начисляются ежегодно, то t=1, ежеквартально t=4, ежемесячно t=12
ТМ — количество периодов начисления процентов, т.е. если вы открыли вклад на 2 года, то при ежеквартальном начислении периодов будет 8, при ежемесячном TM будет равно 24.
S — сумма, которая окажется у вас на счету по истечении срока вклада.
Пример.
Вы открыли вклад на срок 2 года, под 12% годовых, капитализация процентов ежеквартальная. Вы несли 10 000 рублей.
Какая сумма будет у вас в конце срока?
K=10 000
r=0,12%
t=4
TM=8
Получаем, S=10 000 * (1+0.12/4)∧8 = 12 668 рублей.
Итого за 2 года подобный вклад принесет вам 2 668 рублей или 26,68% доходности.
Если, для примера взять простое начисление процентов под те же 12% годовых на 2 года, с ежегодным начисление, но без капитализации, то в конце срока сумма будет немного меньше, а именно 2 400 рублей или 24% доходности.
Конечно, разница в 2,68% не такая уж и большая. Но все меняется если измениться сумма вклада в большую сторону или же увеличиться срок вклада. Именно на больших временных интервалах разница между простым и сложным начисление процентов наиболее заметна. На длительных интервалах времени разница в достигнутом результате может изменяться в разы. Недаром Ротшильды (богатейшее семейство планеты) называли сложные проценты « «.
Поэтому, при , обращайте внимание на вид начисление процентов.
Доход от инвестированного капитала, или (в более узком смысле) вознаграждение за использование денег, называется процентными деньгами , или процентами .
Сумма денег, данных взаймы называется основной суммой , или капиталом .
Время, на которое даётся заём, называется периодом .
Сумма процентных и основных денег, получающаяся в конце периода, называется итогом .
Отношение процента за определённый период к основной сумме (капиталу) называется нормой процента , или процентная ставка . Выражается эта величина в форме %.
Обозначим эти величины следующим образом:
Р - основная (первоначальная) сумма,
r - норма процента (процентная ставка) за 1 год,
t - продолжительность периода в годах,
итоговая (наращенная) сумма, руб.
Если процент вычисляется по нижеследующей формуле:
I = P r t (1)
и выплачивается в конце периода времени, тогда выплачиваемые процентные деньги называются простым процентом. Здесь rt - норма процента за рассматриваемый период времени (для простого процента норма даётся для периода 1 год). Тогда выражение:
S = P + I (2)
называется итоговая (или наращенная) сумма. Формулы (1) и (2) представляют собой основные уравнения простого процента и могут быть записаны в другом виде:
S = P (1 + r t ). (3)
При использовании выражения (3) необходимо помнить, что если время исчисляется в годах, то параметр t подставляется в годах (число), если время в месяцах, то t - в количестве месяцев, поделённых на 12, если время в днях, то t - в количестве дней, поделённых на 365 (366 в високосном году).
В случае, когда процент периодически добавляется к основной сумме, а полученная новая сумма используется как основная для следующего временного периода, и данная процедура повторяется n - е число периодов, то окончательный результат называется составным итогом (или наращенной суммой) . Разность между составным итогом и первоначальной суммой называется сложным процентом .
Если обозначить:
S - составной итог для P (при расчёте сложных процентов),
количество периодов конверсии (процентных периодов),
норма процента за период конверсии (ставка наращения),
то основная формула сложного процента запишется следующим образом:
S = P (1 + i ) n . (4)
Некоторые финансовые функции:
НАКОПДОХОД Возвращает накопленный доход по ценным бумагам с периодической выплатой процентов.
НАКОПДОХОДПОГАШ Возвращает накопленный доход по ценным бумагам, процент по которым выплачивается в срок вступления в силу.
АМОРУМ Возвращает величину амортизации для каждого периода, используя коэффициент амортизации.
АМОРУВ Возвращает величину амортизации для каждого отчетного периода.
ДНЕЙКУПОНДО Возвращает количество дней между началом периода купона и датой соглашения.
ДНЕЙКУПОН Возвращает число дней в периоде купона, который содержит дату соглашения.
ДНЕЙКУПОНПОСЛЕ Возвращает число дней от даты соглашения до срока следующего купона.
ДАТАКУПОНПОСЛЕ Возвращает следующую дату купона после даты соглашения.
ЧИСЛКУПОН Возвращает количество купонов, которые могут быть оплачены между датой соглашения и сроком вступления в силу.
ДАТАКУПОНДО Возвращает предыдущую дату купона перед датой соглашения.
ОБЩПЛАТ Возвращает общую выплату, произведенную между двумя периодическими выплатами.
ОБЩДОХОД Возвращает общую выплату по займу между двумя периодами.
ФУО Возвращает амортизацию имущества на заданный период, используя метод постоянного учета амортизации.
ДДОБ Возвращает величину амортизации имущества для указанного периода при использовании метода двукратного учета амортизации или иного явно указанного метода.
СКИДКА Возвращает норму скидки для ценных бумаг.
РУБЛЬ.ДЕС Преобразует цену в рублях, выраженную в виде дроби, в цену в рублях, выраженную десятичным числом.
РУБЛЬ.ДРОБЬ Преобразует цену в рублях, выраженную десятичным числом, в цену в рублях, выраженную в виде дроби.
ДЛИТ Возвращает ежегодную продолжительность действия ценных бумаг с периодическими выплатами по процентам.
ЭФФЕКТ Возвращает действующие ежегодные процентные ставки.
БС Возвращает будущее значение вклада.
БЗРАСПИС Возвращает будущее значение начального предложения после учета ряда сложных процентных ставок.
ИНОРМА Возвращает ставку доходности полностью обеспеченной ценной бумаги.
ПРПЛТ Возвращает величину выплаты прибыли на вложения за данный период.
ВСД Возвращает внутреннюю ставку доходности (отдачи) для серии потоков денежных средств.
ПРОЦПЛАТ Вычисляет выплаты за указанный период инвестиции.
МДЛИТ Возвращает модифицированную длительность Маколея для ценных бумаг с предполагаемой номинальной стоимостью 100 рублей.
МВСД Возвращает внутреннюю ставку доходности, при которой положительные и отрицательные денежные потоки имеют разную ставку.
НОМИНАЛ Возвращает номинальную годовую процентную ставку.
КПЕР Возвращает общее количество периодов выплаты для данного вклада.
ЧПС Возвращает чистую приведенную стоимость инвестиции, основанной на серии периодических денежных потоков и ставке дисконтирования.
ЦЕНАПЕРВНЕРЕГ Возвращает цену за 100 рублей нарицательной стоимости ценных бумаг с нерегулярным первым периодом.
ДОХОДПЕРВНЕРЕГ Возвращает доход по ценным бумагам с нерегулярным первым периодом.
ЦЕНАПОСЛНЕРЕГ Возвращает цену за 100 рублей нарицательной стоимости ценных бумаг с нерегулярным последним периодом.
ДОХОДПОСЛНЕРЕГ Возвращает доход по ценным бумагам с нерегулярным последним периодом.
ПЛТ Возвращает величину выплаты за один период годовой ренты.
ОСПЛТ Возвращает величину выплат на основной капитал для вклада в заданный период.
ЦЕНА Возвращает цену за 100 рублей нарицательной стоимости ценных бумаг, по которым производится периодическая выплата процентов.
ЦЕНАСКИДКА Возвращает цену за 100 рублей нарицательной стоимости ценных бумаг, на которые сделана скидка.
ЦЕНАПОГАШ Возвращает цену за 100 рублей нарицательной стоимости ценных бумаг, по которым выплачивается прибыль в момент вступления в силу.
ПС Возвращает приведенную (к настоящему моменту) стоимость инвестиции.
СТАВКА Возвращает процентную ставку по аннуитету за один период.
ПОЛУЧЕНО Возвращает сумму, полученную в срок вступления в силу полностью обеспеченных ценных бумаг.
АПЛ Возвращает величину непосредственной амортизации имущества за один период.
АСЧ Возвращает величину амортизации актива за данный период, рассчитанную методом "суммы (годовых) чисел".
РАВНОКЧЕК Возвращает эквивалентный облигации доход по казначейскому чеку.
ЦЕНАКЧЕК Возвращает цену за 100 рублей нарицательной стоимости для казначейского чека.
ДОХОДКЧЕК Возвращает доход по казначейскому чеку.
ПУО Возвращает величину амортизации имущества для явно указанного или соответствующего периода при использовании метода разового учета амортизации.
ЧИСТВНДОХ Возвращает внутреннюю ставку доходности запланированных непериодических денежных потоков.
ЧИСТНЗ Возвращает чистую текущую стоимость инвестиции, вычисляемую на основе ряда поступлений наличных, которые не обязательно являются периодическими.
ДОХОД Возвращает доход от ценных бумаг, по которым производятся периодические выплаты процентов.
ДОХОДСКИДКА Возвращает годовой доход по ценным бумагам, на которые сделана скидка. Пример - казначейские чеки.
ДОХОДПОГАШ Возвращает годовой доход от ценных бумаг, процент по которым выплачивается в срок погашения.
Временная стоимость денег. Операции наращения и дисконтирования.
Простые и сложные проценты.
Финансовые ренты.
Одним из ключевых понятий в финансовом управлении является понятие денежного потока как совокупности притоков и оттоков денежных средств, имеющих место через разные временные интервалы. При анализе денежных потоков в большинстве случаев его элементы не могут быть просуммированы непосредственно: должна быть учтена временная компонента.
Все денежные ресурсы, участвующие в финансовых операциях, имеют временную ценность: одна денежная единица, имеющаяся в данный момент времени, более предпочтительна, чем та же самая денежная единица, но ожидаемая к получению в некотором будущем.
Среди факторов, лежащих в основе временной стоимости денег, выделяют: инфляцию, риски, альтернативную стоимость капитала, индивидуальные предпочтения инвесторов.
Простейшим видом финансовой сделки является однократное предоставление некоторой суммы PV с условием, что через некоторое время t будет возвращена большая сумма FV.
PV (Present Value) – стоимость в настоящий момент или сегодняшняя, дисконтированная, приведенная, текущая, настоящая стоимость.
FV (Future Value) – будущая или наращенная стоимость.
Результативность подобной сделки может быть охарактеризована двояко. Во-первых, с помощью абсолютного показателя – прироста I = FV - PV, который называется процентными деньгами или процентом. Это величина дохода от предоставления в долг денежной суммы. Из определения процентных денег следует: FV = PV + I.
Во-вторых, путем расчета некоторого относительного показателя – ставки. Этот показатель рассчитывается отношением приращения исходной суммы к базовой величине, в качестве которой можно брать либо PV, либо FV. Таким образом, ставка за время t рассчитывается по одной из двух формул:
В первом случае показатель называется «процентная ставка», «ставка процента», «рост», «норма прибыли», «доходность», а во втором – «учетная ставка» или «дисконт».
Очевидно, что обе ставки взаимосвязаны, т.е., зная один показатель, можно рассчитать другой:
Различие в этих формулах состоит в том, какая величина берется за базу сравнения: в формуле (1) – исходная сумма, в формуле (2) – возвращаемая (ожидаемая сумма).
Кроме перечисленных показателей часто используют величину, называемую дисконт - фактором:
v t = PV / FV. (4)
Он показывает, какую часть сумма PV составляет в сумме FV.
Удобной и наглядной характеристикой (особенно при оценке вклада) является индекс роста B t суммы за время t:
B t = FV / PV. (5)
Он показывает, во сколько раз увеличилась первоначальная сумма за время t.
Пример. Сумма PV = 2 тыс. руб. за полтора года выросла до FV = 4,6 тыс. руб. Вычислить
процентную и учетную ставку, индекс роста, дисконт-фактор.
Решение: 1) Из формулы (1) r t = (4,6-2) / 2 = 1,3 или 130%
2) Из формулы (2) d t = (4,6-2) / 4,6 = 0,57 или 57%
3) Из формулы (4) v t = 2 / 4,6 = 0,43
4) Из формулы (5) B t = 4,6 / 2 = 2,3
Процесс, в котором заданы исходная сумма и ставка, в финансовых вычислениях называется процессом наращения, искомая величина называется наращенной суммой, а ставка – ставкой наращения.
Процесс, в котором заданы ожидаемая в будущем к получению (возвращаемая) сумма и ставка, называется процессом дисконтирования, искомая величина называется приведенной суммой, а ставка – ставкой дисконтирования. В первом случае речь идет о движении денежного потока от настоящего к будущему, во втором – о движении от будущего к настоящему.
Настоящее Будущее
Исходная сумма наращение Возвращаемая (наращенная)
Ставка (r t) сумма
Приведенная сумма Ожидаемая сумма
дисконтирование Ставка (d t)
Экономический смысл финансовой операции, задаваемой формулой (1), состоит в определении величины той суммы, которой будет или желает располагать инвестор по окончании этой операции. Из формулы (1) следует:
FV = PV (1 + r t). (6) – процесс наращения (прямая задача).
Соответственно: PV = FV / (1+ r t) – обратная задача
Из формулы (2) следует:
PV = FV (1 – d t). (7) – процесс дисконтирования (прямая задача).
Соответственно: FV = PV / (1-d) – обратная задача.
Следует отметить, что в качестве ставки наращения может выступать как процентная, так и учетная ставка. Если наращенная сумма находится по формуле (6), то ставкой наращения является процентная ставка. С другой стороны, из формулы (7) следует: FV = PV / (1-d), поэтому в этом случае ставкой наращения является учетная ставка.
Как уже было сказано, движение денежных средств от будущего к настоящему носит название дисконтирования. Говорят, что капитал FV дисконтируется, а величину удержанных процентов называют дисконтом. Таким образом, дисконтирование является процессом, обратным наращению первоначального капитала. Экономический смысл дисконтирования заключается в нахождении такой величины капитала PV, которая через n лет при наращении по простым процентам по ставке r будет равна FV.
Пример: Предприятие получило кредит на один год в размере 50 тыс. руб. с условием
возврата 80 тыс. руб. Найти процентную и учетную ставки. Если предприятие за
взятый кредит через год должно вернуть 90 тыс. руб., то при учетной ставке 40%
найти величину кредита.
Решение: 1) r t = (80 – 50) / 50 = 0.6 (60%)
2) d t = (80 – 50) / 80 = 0.375 (37,5%)
3) Применяем формулу дисконтирования (7): PV = 90 (1 – 0.4) = 54
Простые и сложные проценты.
Для начисления процентов применяют либо постоянную базу начисления, либо последовательно изменяющуюся (за базу применяется сумма, полученная на предыдущем этапе наращения или дисконтирования). В первом случае используют схему начисления по простому проценту.
Схема простых процентов предполагает неизменность величины, с которой происходит начисление. Пусть исходный инвестируемый капитал равен Р, требуемая доходность – r (в десятичных дробях). Считается, что инвестиция сделана на условиях простого процента, если капитал ежегодно увеличивается на величину Рr. Таким образом, размер F инвестируемого капитала через n лет будет равен:
F = P + Pr + ….. Pr = P (1+nr), т.е.
F = P (1 + nr). (8)
Расчет по схеме простых процентов на основе годовой процентной ставки заключается в том, что кредитор за каждый год предоставленного кредита получает одни и те же процентные деньги.
Выражение (8) называется формулой наращения по простым процентам, а множитель (1+nr) – множителем наращения или коэффициентом наращения простых процентов.
Приращение капитала I = Pnr (9) пропорционально сроку ссуды и ставке процента.
В случае долгосрочного финансирования процентная ставка может изменяться во времени. Особенно важно предусмотреть в кредитном договоре не фиксированную, а меняющуюся процентную ставку (например, в условиях инфляции). Тогда формула (9) будет записана следующим образом:
F = P (1 + n 1 r 1 + n 2 r 2 + …. n i r i). (8a).
Если n<1, то величину срока, на который выдается кредит, выражают в виде дроби: n = t / Д год,
где t – число дней пользования ссудой, Д год – число дней в году (временная база).
Таким образом, в случае краткосрочного кредитования формула (8) будет записана так:
F = P (1+ (t / Д год) r). (8в).
В практике определения суммы процентных денег используется и такой вариант, когда база для начисления процентов не остается постоянной, а увеличивается с течением времени, т.е. проценты не выплачиваются сразу после их начисления а присоединяются к основной сумме долга и на вновь полученную сумму начисляются проценты. Пусть проценты за весь период начисляются по постоянной ставке r. В этом случае процесс наращения денег происходит по геометрической прогрессии и равен:
F = P (1 + r) n . (10)
Расчет по схеме сложных процентов на основе годовой процентной ставки заключается в том, что кредитор за каждый год предоставленного кредита получает процентные деньги от всей накопленной суммы долга (с учетом процентных денег).
Выражение (10) называют формулой наращения по сложным процентам, а величину (1 + r) n – множителем наращения сложных процентов.
Если в кредитном договоре на определенные периоды оговорены меняющиеся процентные ставки, формула наращенной суммы при использовании сложной процентной ставки будет иметь вид:
F = P (1 + r 1) n1 (1 + r 2) n2 ……(1 + r i) ni (10a).
Проиллюстрировать понятие сложных процентов можно на примере следующей ситуации. Предположим, что клиент банка на основании соглашения с банком поместил в начале года на депозитный счет сумму Р на срок один год при условии начисления простых процентов с годовой процентной ставкой r. В соответствии с формулой (8) по истечении года на счете образуется сумма P (1+r), которую клиент снимает со счета и снова помещает на депозит с теми же условиями (реинвестирует сумму вместе с процентными деньгами). При этом по истечении второго года на счете образуется сумма P (1 + r) 2 , по истечении третьего года - сумма P (1 + r) 3 и т.д. Таким образом, при инвестировании (капитализации) происходит наращение суммы депозита по схеме сложных процентов.
Схема начисления сложных процентов была введена для того, чтобы не усложнять жизнь клиентов и работу банков процедурой регулярного снятия с депозитного счета и размещения на депозитном счете одной и той же денежной суммы.
Пример: Пусть Р = 10000, r = 10%, n 1 = 0.5, n 2 = 1, n 3 = 1,5. Какова будет плата за кредит
при расчете по схеме простых и сложных процентов? Какая из схем начисления
более выгодна кредитору?
Решение: 1) Рассчитаем сумму, подлежащую возврату, по схеме простых процентов.
F = P (1 + nr)
F 1 = 10000 (1 + 0.5*0.1) = 10500
F 2 = 10000 (1 + 1*0.1) = 11000
F 3 = 10000 (1 + 1.5*0.1) = 11500
2) Рассчитаем сумму, подлежащую возврату, по схеме сложных процентов:
F = P (1 + r) n
F 1 = 10000 (1 + 0.1) 0.5 = 10488
F 2 = 10000 (1 + 0.1) 1 = 11000
F 3 = 10000 (1 + 0.1) 1.5 = 11537
Вывод: В случае, когда кредитор выдает деньги в долг на срок 1 год, расчеты по схемам простых и сложных процентов приводят к одному и тому же результату.
Если срок возврата долга превышает один год, то расчет по схеме сложных процентов более выгоден кредитору. Если срок возврата долга меньше одного года, то расчет по схеме простых процентов более выгоден заемщику.
Ни одна из схем начисления процентов не является универсальной и пригодной и пригодной на все случаи жизни, т.е. нельзя определенно и однозначно отдавать приоритет той или иной схеме – все зависит от конкретных обстоятельств.
Внутригодовые процентные начисления. В банковской практике капитализация процентов может производиться несколько раз в год – ежемесячно, ежеквартально, по полугодиям и т.д. Число раз начислений процентов обычно фиксируется в условиях финансового соглашения. Такое кратное наращение возможно только в схеме сложного процента. Обозначим это число m (показывает, сколько раз в течение года происходит начисление процентов: m = 2 – два раза в год, m = 12 – ежемесячно и т.д.). Тогда формула наращенного капитала за n лет при m-кратном начислении процентов в год примет вид:
F = P (1 + r / m) nm . (11),
где nm –количество периодов начисления процентов за n лет.
Пример: В банк вложены деньги в сумме 5 тыс. руб. на два года с полугодовым начислением
процентов под 20% годовых. Найти наращенный капитал. Изменится ли величина
капитала к концу двухлетнего периода, если проценты будут начисляться
ежеквартально?
Решение: Из формулы (11) F = 5000 (1+0,2/2) 2*2 = 7320,5 (при m = 2)
При m = 4: F = 5000 (1+0,2/4) 2*4 = 7387,3
Для сравнения финансовых операций с различными величинами процентных ставок и разной кратностью начисления процентов применяется эффективная ставка r ef . Это годовая ставка сложных процентов (т.е. начисляемая за год лишь один раз), которая обеспечивает тот же финансовый результат, что и начисление сложных процентов несколько раз в году (r / m).
Определяется по формуле:
r ef = (1+ r / m) m – 1. (12)
В отличие от эффективной ставки первоначальная ставка с m-кратным начислением называется номинальной.
Пример: Предприниматель может получить ссуду по ставке 26% годовых с ежемесячным
начислением процентов или по ставке 27% годовых с начислением процентов два
раза в год. Какой вариант более предпочтителен для предпринимателя?
Решение: Рассчитаем эффективную ставку по формуле (12) для обоих вариантов.
1) r ef = (1+0,26/12) 12 – 1 = 0,2933 или 29,33%
2) r ef = (1+0,27/2) 2 – 1 = 0,2882 или 28,82%
Вывод: для предпринимателя более выгодным является второй вариант, т.к. процентная
ставка получилась ниже.
