Существует точные и приближенные методы исследования нелинейных систем к числу точных методов относятся методы фазовых траекторий, точечных преобразований, частотный метод Попова, метод сечений пространства параметров, метод припасовывания, к приближенным методам относится метод гармонической линеаризации.
Основы метода фазовых траекторий
Метод фазовых траекторий заключается в том, что поведение исследуемой нелинейной системы рассматривается и описывается не во временной области (в виде уравнений процессов в системе), а в фазовом пространстве системы (в виде фазовых траекторий).
Состояние нелинейной системы автоматического управления характеризуется с использованием фазовых координат системы
задающих вектор состояния системы в фазовом пространстве системы
Y (y1, y2, y3,...yn).
При введении в рассмотрение фазовых координат нелинейное дифференциальное уравнение порядка n для свободного процесса в нелинейной системе
преобразуется к системе из n дифференциальных уравнений первого порядка
В ходе процесса в системе фазовые координаты yi изменяются и вектор состояния системы Y описывает годограф в n– мерном фазовом пространстве системы (рис. 56). Годограф вектора состояния (траектория движения изображающей точки M, соответствующей концу вектора) есть фазовая траектория системы. Вид фазовой траектории однозначно связан с характером процесса в системе. Поэтому о свойствах нелинейной системы можно судить по ее фазовым траекториям.
Уравнение фазовой траектории может быть получено из приведенной выше системы уравнений первого порядка, связывающих фазовые координаты и учитывающих свойства системы, путем исключения времени. Фазовая траектория не отображает время процессов в системе.
Связь между фазовой траекторией y(x) и процессом x(t) поясняет рис. 57. Фазовая траектория построена в фазовых координатах 0XY, где x – выходная величина системы, y – скорость изменения выходной величины (первая производная x’). Переходный процесс x(t) построен в координатах x–t (выходная величина – время).
Метод точечных преобразований поверхностей позволяет определить всевозможные виды движения (свободные колебания) нелинейных динамических систем после любых начальных отклонений. Метод развит для анализа и синтеза движений систем, описываемых дифференциальными уравнениями невысокого порядка (второго, третьего), а также для системы с релейным управлением при учете запаздывания.
Замена производится по участкам, для каждого из которых нелинейная часть характеристики представляется линейным отрезком. Это дает возможность получить интегрируемое линейное дифференциальное уравнение, приближенно отражающее процесса в пределах данного участка. Для системы, описываемой дифференциальным уравнением второго порядка, ход расчета можно показать на фазовой плоскости, по осям которой откладываются исследуемая переменная л: и ее производная по времени у. Решение динамической задачи сводится к изучению точечного преобразования координатной полуоси в самое себя.
Рис.10.7. Метод точечных преобразований
Частотный метод
румынского ученого В.М. Попова, предложенный в 1960 году, решает задачу об абсолютной устойчивости системы с одной однозначной нелинейностью, заданной предельным значением коэффициента передачи k нелинейного элемента. Если в системе управления имеется лишь одна однозначная нелинейность z=f(x), то, объединив вместе все остальные звенья системы в линейную часть, можно получить ее передаточную функцию Wлч(p), т.е. получить расчетную схему рис.7.1.
Ограничений на порядок линейной части не накладывается, т.е. линейная часть может быть любой. Очертание нелинейности может быть неизвестным, но она должна быть обязательно однозначной. Необходимо лишь знать, в пределах какого угла arctg k (рис. 7.2) она расположена, где к - предельный (наибольший) коэффициент передачи нелинейного элемента.
Рис.7.2. Характеристика нелинейного элемента
Графическая интерпретация критерия В.М.Попова связана с построением а.ф.х. видоизмененной частотной характеристики линейной части системы W*(jω), которая определяется следующим образом:
W*(jω) = Re WЛЧ(jω) + Im WЛЧ(jω),
где Re WЛЧ(jω) и Im WЛЧ(jω) - соответственно действительная и мнимая части линейной системы.
Критерий В.М.Попова может быть представлен или в алгебраической, или частотной форме, а также для случаев устойчивой и неустойчивой линейной части. Чаще используется частотная форма.
Формулировка критерия В.М.Попова в случае устойчивой линейной части: для установления абсолютной устойчивости нелинейной системы достаточно подобрать такую прямую на комплексной плоскости W*(jω), проходящую через точку (, j0), чтобы вся кривая W*(jω) лежала справа от этой прямой. Условия выполнения теоремы показаны на рис. 7.3.
Рис. 7.3. Графическая интерпретация критерия В.М. Попова для абсолютно устойчивой нелинейной системы
На рис. 7.3 приведен случай абсолютной устойчивости нелинейной системы при любой форме однозначной нелинейности. Таким образом, для определения абсолютной устойчивости нелинейной системы по методу В.М. Попова необходимо построить видоизмененную частотную характеристику линейной части системы W*(jω), определить предельное значение коэффициента передачи k нелинейного элемента из условия и через точку (-) на вещественной оси комплексной плоскости провести некоторую прямую так, чтобы характеристика W*(jω) лежала справа от этой прямой. Если такую прямую провести нельзя, то это значит, что абсолютная устойчивость для данной системы невозможна. Очертание нелинейности может быть неизвестным. Критерий целесообразно применять в случаях, когда нелинейность может в процессе работы САУ изменяться, или ее математическое описание неизвестно.
Метод припасовывания нашел свое применение при построении фазовых портретов нелинейных систем, которые могут быть представлены в виде линейной и нелинейной частей (рис. 11.10), причем линейная часть является системой второго порядка, а нелинейная часть характеризуется кусочнолинейной статической характеристикой.
линеиная часть
нелинейная часть
Рис. 11.10 Структурная схема нелинейной системы
Согласно этому методу фазовая траектория строится по частям, каждой из которых соответствует линейный участок статической характеристики. На таком рассматриваемом участке система линейна и ее решение может быть найдено непосредственным интегрированием уравнения для фазовой траектории этого участка. Интегрирование уравнения при построении фазовой траектории производится до тех пор, пока последняя не выйдет на границу следующего участка. Значения фазовых координат в конце каждого участка фазовой траектории являются начальными условиями для решения уравнения на следующем участке. В этом случае говорят, что начальные условия припасовываются, т.е. конец предыдущего участка фазовой траектории является началом следующего. Граница между участками называется линией переключения.
Таким образом, построение фазового портрета методом припасовывания производится в следующей последовательности:
выбираются или задаются начальные условия;
интегрируется система линейных уравнений для того линейного участка, на который попали начальные условия, до момента выхода на границу следующего участка;
производится припасовывание начальных условий.
Метод гармонической линеаризации
Общих универсальных методов исследования нелинейных систем не существует - слишком велико разнообразие нелинейностей. Однако, для отдельных видов нелинейных систем разработаны эффективные методы анализа и синтеза.
- Метод гармонической линеаризации предназначен для представления нелинейной части системы некоторой эквивалентной передаточной функцией, если сигналы в системе могут рассматриваться, как гармонические.
- Этот метод может быть эффективно использован для исследования периодических колебаний в автоматических системах, в том числе, условий отсутствия этих колебаний, как вредных.
Характерным для метода гармонической линеаризации является рассмотрение одного единственного нелинейного элемента. НЭ можно разделить на статические и динамические . Динамические НЭ описываются нелинейными дифференциальными уравнениями и являются гораздо более сложными. Статические НЭ описывают-ся функцией F(x).
Система считается нелинейной, если её порядок >2 (n>2).
Исследование линейных систем высокого порядка связанно с преодолением значительных математических трудностей, так как несуществует общих методов решения нелинейных уравнений. При анализе движения нелинейных систем применяют методы численного и графического интегрирования, которые позволяют получать только одно частное решение.
Методы исследования разделяются на две группы. Первая группа – это методы основанные на поиске точных решений нелинейных дифференциальных уравнений. Вторая группа – это приближенные методы.
Разработка точных методов важна как с точки зрения получения непосредственных результатов, так и для исследования различных особых режимов и форм динамических процессов нелинейных систем, которые не могут быть выявлены и проанализированы приближенными методами. К точным методам относятся:
1. Прямой метод Ляпунова
2. Методы фазовой плоскости
3. Метод припасовывания
4. Метод точечных преобразований
5. Метод сечений пространства параметров
6. Частотный метод определения абсолютной устойчивости
Для решений многих теоретических и практических задач применяется дискретная и аналоговая вычислительная техника, позволяющая использовать методы математического моделирования в сочетании с полунатурным и натурным моделированием. В этом случае вычислительная техника стыкуется с реальными элементами систем управления, со всеми присущими им нелинейностями.
К приближенным относятся аналитические и графо-аналитические методы, позволяющие заменить нелинейную систему эквивалентной линейной моделью, с последующим использованием для ее иследования методов линейной теории динамических систем.
Существует две группы приближенных методов.
Первая группа основывается на предположение о близости исследуемой нелинейной системы по ее свойствам к линейной. Это методы малого параметра, когда движение системы описывается с помощью степенных рядов относительно некоторого малого параметра, который имеется в уровнениях системы, или который вводится в эти уровнения искусственно.
Вторая группа методов направлены на исследования собственных периодических колебаний системы. Она основывается на предположении близости искомых колебаний системы к гармоническим. Это методы гармонического баланса или гармонической линеализации. При их использовании производится условная замена нелинейного элемента, находящегося под действием гармонического входного сигнала, эквивалентным линейным элементам. Аналитическое обоснование гармонической линеализации основывается на принципе равенства частотных, аплитудных и фазовых выходных переменных, эквивалентного линейного элемента и первой гармоники выходной переменной реального нелинейного элемента.
Наибольший эффект дает разумное сочетание приближенных и точных методов.
Предмет:
"Теория автоматического управления"
Тема:
"Методы исследования нелинейных систем"
1. Метод дифференциальных уравнений
Дифференциальное уравнение замкнутой нелинейной системы n-го порядка (рис. 1) можно преобразовать к системе n-дифференциальных уравнений первого порядка в виде:
где: – переменные, характеризующие поведение системы (одна из них может быть регулируемая величина); – нелинейные функции; u – задающее воздействие.
Обычно, эти уравнения записываются в конечных разностях:
,где – начальные условия.
Если отклонения
не большие, то эту систему можно решать, как систему алгебраических уравнений. Решение можно представить графически.2. Метод фазового пространства
Рассмотрим случай, когда внешнее воздействие равно нулю (U = 0).
Движение системы определяется изменением ее координат -
в функции времени. Значения в любой момент времени характеризует состояние (фазу) системы и определяет координаты системы имеющей n – осей и могут быть представлены как координаты некоторой (изображающей) точки М (рис. 2).Фазовым пространством называется пространство координат системы.
С изменением времени t точка М движется по траектории, называемой фазовой траекторией . Если менять начальные условия получим семейство фазовых траекторий, называемых фазовым портретом . Фазовый портрет определяет характер переходного процесса в нелинейной системе. Фазовый портрет имеет особые точки, к которым стремятся или от которых уходят фазовые траектории системы (их может быть несколько).
Фазовый портрет может содержать замкнутые фазовые траектории, которые называются предельными циклами. Предельные циклы характеризуют автоколебания в системе. Фазовые траектории нигде не пересекаются, кроме особых точек, характеризующих равновесные состояния системы. Предельные циклы и состояния равновесия могут быть устойчивыми или не устойчивыми.
Фазовый портрет полностью характеризует нелинейную систему. Характерной особенностью нелинейных систем является наличие различных типов движений, нескольких состояний равновесия, наличие предельных циклов.
Метод фазового пространства является фундаментальным методом исследования нелинейных систем. Исследовать нелинейных систем на фазовой плоскости гораздо проще и удобнее, чем с помощью построения графиков переходных процессов во временной области.
Геометрические построения в пространстве менее наглядны, чем построения на плоскости, когда система имеет второй порядок, при этом применяется метод фазовой плоскости.
Применение метода фазовой плоскости для линейных систем
Проанализируем связь между характером переходного процесса и кривыми фазовых траекторий. Фазовые траектории могут быть получены либо путем интегрирования уравнения фазовой траектории, либо путем решения исходного дифференциального уравнения 2-го порядка.
Пусть задана система (рис. 3).
 |
Рассмотрим свободное движение системы. Приэтом: U(t)=0, e(t)=– x(t)
В общем виде дифференциальное уравнение имеет вид
где 
(1)
Это однородное дифференциальное уравнение 2-го порядка его характеристическое уравнение равно
. (2)
Корни характеристического уравнения определяются из соотношений
(3)
Представим дифференциальное уравнение 2-го порядка в виде системы
уравнений 1-го порядка:
(4)
скорость изменения регулируемой величины.
В рассматриваемой линейной системе переменные x и y представляют собой фазовые координаты. Фазовый портрет строим в пространстве координат x и y, т.е. на фазовой плоскости.
Если исключим время из уравнения (1), то получим уравнение интегральных кривых или фазовых траекторий.
. (5)
Это уравнение с разделяющимися переменными
. (6)Рассмотрим несколько случаев
1. Пусть корни характеристического уравнения (3) имеют вид
(т.е.
). (7)
При этом переходной процесс описывается уравнениями
x = A sin (wt+j), (8)
y = Aw cos (wt+j),
т.е. представляет собой незатухающие колебания с постоянной амплитудой А и начальной фазой – j.
На фазовой плоскости (рис. 4) эти уравнения представляют собой параметрические уравнения эллипса с полуосями А и wA (где A – постоянная интегрирования).
Если обозначить
Уравнение эллипса можно получить решением уравнения фазовых траекторий
(9)
Состояние равновесия определяется из условия
,
при этом x 0 = y 0 = 0.
Особая точка называется "центр" и соответствует устойчивому равновесию, так как фазовые траектории от нее не удаляются.
2. Пусть корни характеристического уравнения (3) имеют вид
(10)При этом переходной процесс описывается уравнениями:
Из уравнения фазовых траекторий
получим уравнение
Это уравнение семейства гипербол при изменении A (рис 5).
 |
 |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Новосибирский государственный технический университет
Кафедра электропривода и автоматизации промышленных установок
КУРСОВАЯРАБОТА
по дисциплине «Теория автоматического управления»
Анализ нелинейных систем автоматического управления
Студент: Тишининов Ю.С.
Группа Эма-71
Руководитель курсовой работы
ЗАДАНИЕ НА КУРСОВУЮ РАБОТУ:
1. Исследовать САУ с заданной структурной схемой, видом нелинейности и числовыми параметрами методом фазовой плоскости.
1.1 Проверить результаты расчетов по пункту 1 с помощью структурного моделирования.
1.2 Исследовать влияние входного воздействия и параметров нелинейности на динамику системы.
2. Исследовать САУ с заданной структурной схемой, видом нелинейности и числовыми параметрами методом гармонической линеаризации.
2.1 Проверить результаты расчетов по пункту 2 с помощью структурного моделирования.
2.2 Исследовать влияние входного воздействия и параметров нелинейности на динамику системы
1. Исследуем САУ с заданной структурной схемой, видом нелинейности и числовыми параметрами методом фазовой плоскости.
Вариант №4-1-а
Исходные данные.
1) Структурная схема нелинейной САУ:
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
Система, в которой рабочие операции и операции управления выполняют технические устройства, называется системой автоматического управления (САУ) .
Структурной схемой называется графическое изображение математического описания системы.
Звено на структурной схеме изображается в виде прямоугольника с указанием внешних воздействий и внутри него записывается передаточная функция.
Совокупность звеньев совместно с линиями связи, характеризующими их взаимодействие, образует структурную схему.
2) Параметры структурной схемы:
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
Метод фазовой плоскости
Поведение нелинейной системы в любой момент времени определяется управляемой переменной и ее (n?1) производной, если эти величины отложить по осям координат, то полученное n?мерное пространство будет называться фазовым пространством. Состояние системы в каждый момент времени будет определяться в фазовом пространстве изображающей точкой. Во время переходного процесса изображающая точка перемещается в фазовом пространстве. Траектория ее движения называется фазовой траекторией. В установившемся режиме изображающая точка находится в состоянии покоя и называется особой точкой. Совокупность фазовых траекторий для различных начальных условий, совместно с особыми точками и траекториями называется фазовым портретом системы.
При исследовании нелинейной системы данным методом необходимо структурную схему (рис. 1.1) преобразовать к виду:
Знак минус говорит о том, что обратная связь отрицательная.
где X 1 и X 2 - выходная и входная величины линейной части системы соответственно.
Найдем дифференциальное уравнение системы:
Произведем замену, тогда
Решим это уравнение относительно старшей производной:
Положим, что:
Разделим уравнение (1.2) на уравнение (1.1) и получим нелинейное дифференциальное уравнение фазовой траектории:
где x 2 = f(x 1).
Если решать это ДУ методом изоклин, то можно построить фазовый портрет системы для различных начальных условий.
Изоклиной называется геометрическое место точек фазовой плоскости, которые фазовая траектория пересекает под одним и тем же углом.
В данном методе нелинейная характеристика делится на линейные участки и для каждого из них записывается линейное ДУ.
Для получения уравнения изоклины правая часть уравнения (1.3) приравнивается к постоянной величине N и решается относительно.
Учитывая нелинейность, получаем:
Задаваясь значениями N в диапазоне от до, строится семейство изоклин. На каждой изоклине проводится вспомогательная прямая под углом к оси абсцисс
где m X - масштабный коэффициент по оси х;
m Y - масштабный коэффициент по оси у.
Выбираем m X = 0,2 ед/см, m Y = 40 ед/см;
Конечная формула для угла:
Рассчитаем семейство изоклин и угол для участка, расчет сведем в таблицу 1:
Таблица 1
Рассчитаем семейство изоклин и угол для участка, расчет сведем в таблицу 2:
Таблица 2
Рассчитаем семейство изоклин и угол для участка, расчет сведем в таблицу 3:
Таблица 3
Построим фазовую траекторию
Для этого выбираются начальные условия на одной из изоклин (точка А), из точки А проводятся две прямые линии до пересечения со следующей изоклиной под углами б 1 , б 2 , где б 1 , б 2 ? соответственно углы первой и второй изоклины. Отрезок, отсекаемый этими линиями, делится пополам. Из полученной точки, середины отрезка, вновь проводятся две линии под углами б 2 , б 3 , и вновь отрезок делится пополам и т.д. Полученные точки соединяются плавной кривой.
Семейства изоклин строятся для каждого линейного участка нелинейной характеристики и разделяются между собой линиями переключения.
По фазовой траектории видно, что получена особая точка типа устойчивый фокус. Можно сделать вывод, что автоколебаний в системе нет, а переходный процесс устойчивый.
1.1 Проверим результаты расчетов с помощью структурного моделирования в программе MathLab
Структурная схема:
Фазовый портрет:
Переходный процесс при входном воздействии равном 2:
Xвых.max = 1.6
1.2 Исследуем влияние входного воздействия и параметров нелинейности на динамику системы
Увеличим входной сигнал до 10:
Xвых.max = 14,3
Трег = 0,055
X вых. max = 103
Т рег = 0,18
Увеличим зону чувствительности до 15:
Xвых.max = 0,81
Уменьшим зону чувствительности до 1:
Xвых.max = 3.2
Результатами моделирования были подтверждены результаты расчетов: из рисунка 1.7 видно, что процесс сходящийся, автоколебаний в системе нет. Фазовый портрет смоделированной системы схож с построенным расчетным путем.
Исследовав влияние входного воздействия и параметров нелинейности на динамику системы, можно сделать выводы:
1) при увеличении входного воздействия увеличивается уровень установившегося режима, количество колебаний не меняется, время регулирования увеличивается.
2) при увеличении мертвой зоны уровень установившегося режима увеличивается, количество колебаний также остается неизменным, время регулирования увеличивается.
2. Исследуем САУ с заданной структурной схемой, видом нелинейности и числовыми параметрами методом гармонической линеаризации.
Вариант №5-20-c
Исходные данные.
1) Структурная схема:
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
2) Значения параметров:
3) Вид и параметры нелинейности:
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
Наиболее широкое распространение для исследования нелинейных САУ высокого порядка (n > 2) получил приближенный метод гармонической линеаризации с применением частотных представлений, развитых в теории линейных систем.
Основная идея метода сводится к следующему. Пусть замкнутая автономная (без внешних воздействий) нелинейная система состоит из последовательно включённых нелинейного безынерционного НЗ и устойчивой или нейтральной линейной части ЛЧ (рис 2.3, а)
u=0 x z Х=Х m sinwt z y
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
y = Y m 1 sin (wt +)
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
Для суждения о возможности существования моногармонических незатухающих колебаний в этой системе предполагается, что на входе нелинейного звена действует гармонический синусоидальный сигнал x(t) = X m sinwt (Рис. 2.3,б). При этом сигнал на выходе нелинейного звена z(t) = z содержит спектр гармонических составляющих с амплитудами Z m 1 , Z m 2 , Z m 3 , и т.д. и частотами w, 2w, 3w и т.д. Предполагается, что этот сигнал z(t), проходя через линейную часть W л (jw), фильтруется ею в такой степени, что в сигнале на выходе линейной части y(t) можно пренебречь всеми высшими гармониками Y m 2 , Y m 3 и т.д. и считать, что
y(t)Y m 1 sin(wt +)
Последнее предположение носит название гипотезы фильтра и выполнение этой гипотезы является необходимым условием гармонической линеаризации.
Условие эквивалентности схем, изображенных на рис. 2.3, а и б, можно сформулировать в виде равенства
x(t) + y(t) = 0(1)
При выполнении гипотезы фильтра y(t) = Y m 1 sin(wt +) уравнение (1) распадается на два
Уравнение (2) и (3) носят название уравнений гармонического баланса; первое из них выражает баланс амплитуд, а второе - баланс фаз гармонических колебаний.
Таким образом, для того, чтобы в рассматриваемой системе существовали незатухающие гармонические колебания, при соблюдении гипотезы фильтра должны выполняться условия (2) и (3)
Воспользуемся методом Гольдфарба для графоаналитического решения характеристического уравнения вида
W ЛЧ (p) W НЭ (A) +1 = 0
W ЛЧ (jw) W НЭ (A) = -1
Для приближенного определения автоколебаний строятся АФЧХ линейной части системы и обратная отрицательная характеристика нелинейного элемента.
Для построения АФЧХ линейной части преобразуем структурную схему к виду рис 2.4:
В результате преобразования получаем схему рис 2.5:
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
Найдем передаточную функцию линейной части системы:
Избавимся от иррациональности в знаменателе, домножив числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю, получим:
Разобьем получившееся на мнимую и действительную части:
Для построения обратной отрицательной характеристики нелинейного элемента воспользуемся формулой:
Параметры нелинейности:
А - амплитуда, при условии что.
АФЧХ линейной части системы и обратная отрицательная характеристика нелинейного элемента, представлена на рис. 2.6:
Для определения устойчивости автоколебаний воспользуемся следующей формулировкой: если точка соответствующая увеличенной амплитуде по сравнению с точкой пересечения не охватывается частотной характеристикой линейной части системы, то автоколебания устойчивые. Как видно из рисунка 2.6 решение устойчиво, следовательно, в системе устанавливаются автоколебания.
2.1 Проверим результаты расчетов с помощью структурного моделирования в программе MathLab.
Рис 2.7: Структурная схема
Переходный процесс при входном воздействии равном 1 (рис 2.8):
автоматический управление нелинейный гармонический
Как видно из графика устанавливаются автоколебания. Проверим влияние нелинейности на устойчивость системы.
2.2 Исследуем влияние входного воздействия и параметров нелинейности на динамику системы.
Увеличим входной сигнал до 100:
Увеличим входной сигнал до 270
Уменьшим входной сигнал до 50:
Увеличим насыщение до 200:
Уменьшим насыщение до 25:
Уменьшим насыщение до 10:
Результатами моделирования не однозначно подтвердили результаты расчетов:
1) Автоколебания возникают в системе, а изменение насыщения влияет на амплитуду колебаний.
2) При увеличении входного воздействия изменяется величина выходного сигнала и система стремиться к устойчивому состоянию.
СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ИСТОЧНИКОВ:
1. Сборник задач по теории автоматического регулирования и управления. Под ред. В.А. Бесекерского, издание пятое, переработанное. - М.: Наука, 1978. - 512 с.
2. Теория автоматического управления. Ч. II. Теория нелинейных и специальных систем автоматического управления. Под ред. А.А.Воронова. Учеб. пособие для вузов. - М.: Высш. школа, 1977. - 288 с.
3. Топчеев Ю.И. Атлас для проектирования систем автоматического регулирования: учеб. пособие. ? М.: Машиностроение, 1989. ? 752 с.
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Нелинейные системы, описываемые нелинейными дифференциальными уравнениями. Методы анализа нелинейных систем: кусочно-линейной аппроксимации, гармонической линеаризации, фазовой плоскости, статистической линеаризации. Использование комбинации методов.
реферат , добавлен 21.01.2009
Анализ устойчивости системы автоматического управления (САУ) по критерию Найквиста. Исследование устойчивости САУ по амплитудно-фазочастотной характеристике АФЧХ и по логарифмическим характеристикам. Инструменты управления приборной следящей системы.
курсовая работа , добавлен 11.11.2009
Анализ структурной схемы заданной системы автоматического управления. Основные условия устойчивости критерия Гурвица и Найквиста. Синтез как выбор структуры и параметров системы для удовлетворения заранее поставленных требований. Понятие устойчивости.
курсовая работа , добавлен 10.01.2013
Исследование режимов системы автоматического управления. Определение передаточной функции замкнутой системы. Построение логарифмических амплитудной и фазовой частотных характеристик. Синтез системы "объект-регулятор", расчет оптимальных параметров.
курсовая работа , добавлен 17.06.2011
Проектирование замкнутой, одномерой, стационарной, следящей системы автоматического управления с определением параметров корректирующего устройства, обеспечивающего заданные требования к качеству регулирования. Анализ системы с учетом нелинейности УМ.
курсовая работа , добавлен 18.01.2011
Структура замкнутой линейной непрерывной системы автоматического управления. Анализ передаточной функции системы с обратной связью. Исследование линейной импульсной, линейной непрерывной и нелинейной непрерывной систем автоматического управления.
контрольная работа , добавлен 16.01.2011
Уравнения связей структурной схемы САУ. Анализ линейной непрерывной системы автоматического управления. Критерии устойчивости. Показатели качества переходных процессов при моделировании на ЭВМ. Синтез последовательного корректирующего устройства.
контрольная работа , добавлен 19.01.2016
Проектирование структурной схемы электромеханического релейного следящего привода. Составление дифференциальных уравнений замкнутой нелинейной системы автоматического управления, построение ее фазового портрета. Гармоническая линеаризация нелинейности.
курсовая работа , добавлен 26.02.2014
Дискретные системы автоматического управления как системы, содержащие элементы, которые преобразуют непрерывный сигнал в дискретный. Импульсный элемент (ИЭ), его математическое описание. Цифровая система автоматического управления, методы ее расчета.
реферат , добавлен 18.08.2009
Выполнение синтеза и анализа следящей системы автоматического управления с помощью ЛАЧХ и ЛФЧХ. Определение типов звеньев передаточных функций системы и устойчивости граничных параметров. Расчет статистических и логарифмических характеристик системы.
Рассмотрим химико-технологический объект, на вход которого поступает случайный сигнал и (/), а на выходе наблюдается случайный процесс у (/). При использовании корреляционных методов для идентификации линейных объектов с постоянными параметрами обычно полагают (или специально так подбирают тестовый сигнал), что случайные функции и (t) и у (t ) являются стационарными и стациопарно связанными в широком смысле, т. е. их математические ожидания постоянны, а авто- и взаимнокорреляционные функции являются функциями не двух, а одного аргумента, равного их разности.
При идентификации нелинейных динамических систем условия нормальности плотностей вероятности функций и (t) и у (t) и их совместной плотности вероятности, как правило, не выполняются, т. е. характеристики объекта определяются в условиях, когда совместные плотности вероятности функций и (t) и у (/) не гауссовы.
Следовательно, условная плотность вероятности функции у (t) относительно и (t) будет также не гауссовой. Регрессия выходной случайной величины относительно входной случайной функции при заданных значениях аргументов в общем случае нелинейна, а корреляция функций и (0 и у (t) гетероскедастична.
Таким образом, для идентификации нелинейных объектов уже недостаточно корреляционных методов, оперирующих математическими ожиданиями и корреляционными функциями случайных процессов. Ошибка в решении задачи идентификации нелинейного объекта корреляционными методами, используемыми для линейных систем, тем больше, чем сильнее регрессия функций у (t) относительно и (t) отличается от линейной и чем больше неравномерность математического ожидания условных дисперсий.
Задача идентификации нелинейных объектов, функционирующих в условиях случайных возмущений, представляет весьма сложную математическую проблему, которая в настоящее время находится в стадии разработки и еще далека до своего завершения. Тем не менее уже сейчас можно назвать ряд методов, которые хотя и нельзя считать исчерпывающими, однако дающие достаточно хорошее приближенное решение задачи идентификации нелинейных объектов статистическими методами. К таким методам можно отнести: 1) методы, основанные на использовании дисперсионной и взаимодисперсионной функций случайных процессов; 2) метод линеаризации нелинейной регрессии на участках гомоскедастич- ности математического ожидания условной дисперсии функции у (t) относительно и (t) 3) винеровский подход к идентификации нелинейных систем; 4) метод идентификации нелинейных систем, основанный на применении аппарата условных марковских процессов.
Кратко рассмотрим каждый из перечисленных методов.
1. Если зависимость между значениями случайных функций и (0 и у (t) нелинейная, то коэффициент корреляции между значениями случайной функции уже не может служить достаточно хорошим критерием для измерения тесноты связи между ними. Поэтому для характеристики связи между и и у используются
дисперсионные отношения , которые определяются через дисперсионные функции (2, 3].
Взаимная дисперсионная функция 0 yU (*, т) для действительных случайных функций у (t) и и (t) и автодисперсионная (дисперсионная) функция G„ K (*, т) для случайного процесса и (т) определяются соотношениями
где M { } - символ математического ожидания; M .
На основе определенных выше величин п уи, т| ук и R можно построить специальный TV-критерий для проверки гипотезы о линейности зависимости между сигналами у и и:
где п - число опытов; к - число интервалов в корреляционной таблице. Проверим с помощью TV-критерия гипотезу о линейности связи между y t и и т для объекта, рассмотренного в §6.4. Функция
N (т), построенная по входной и выходной реализациям системы, изображена на рис. 8.2 . В данном случае задача идентификации сводится к поиску неизвестных параметров объекта, которыми служат коэффициенты оператора в гильбертовом пространстве. Сигнал на входе системы раскладывается в^ряд подфункциям Лагерра:
с коэффициентами
Рис. 8.3.
Рис. 8.4.
Здесь п -я функция Лагерра g n (t) строится в виде произведения полинома Лагерра l n (t) на экспоненту:
Заметим, что изображение по Лапласу полиномов Лагерра па основании (8.19) имеет вид
Отсюда видно, что необходимые коэффициенты Лагерра можно получить, пропуская сигнал и (t) через цепочку линейных динамических звеньев (см. рис. 8.3).
Оператор нелинейной системы представляется в виде разложения по полиномам Эрмнта:
которые ортогональны на действительной оси - оо t . Из полиномов Эрмита строятся функции Эрмита:
с помощью которых оператор перехода от коэффициентов Лагерра входного сигнала к выходному сигналу записывается в виде
Соотношение (8.20) справедливо для любого нелинейного объекта и может быть положено в основу его идентификации. Методика идентификации значительно упрощается, если на вход подавать специальный сигнал в виде гауссового белого шума. В этом случае функции Лагерра представляют собой некоррелированные гауссовы случайные процессы с равными дисперсиями. При этом определение коэффициентов... к сводится к нахождению взаимнокорреляционной функции выхода системы и полиномов Эрмита:
Определение коэффициентов b { j ... к завершает решение задачи идентификации. Общая схема вычислений показана на рис. 8.4.
При решении задач идентификации химико-технологических объектов рассмотренный метод имеет ограниченное применение по ряду причин. К последним можно отнести, например, трудности, возникающие при переходе от коэффициентов b tj к к технологическим параметрам объекта. Метод не пригоден для нестационарных систем. Трудности реализации этой процедуры в режиме нормальной эксплуатации объекта также снижают эффективность метода. Наконец, необходимость усечения всех операций, связанных с предельными переходами, замена рядов конечными суммами являются источниками дополнительных вычислительных погрешностей.
4. Другой возможный подход к построению оптимальных фильтров нелинейных систем основан па использовании аппарата условных марковских процессов. Рассмотрим существо данного подхода на конкретном примере.
П р и м е р . Пусть полезный сигпал представляет собой прямоугольный импульс
момент появления которого t на отрезке 0 х Т требуется определить. Высота импульса А 0 и его длительность ч предполагаются известными. Сигнал, поступающий на объект, и (t)=s (*)+м> (*) есть сумма полезной составляющей s (0 и белого шума w (*), который описывается интегралом вероятности }
